單連通

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這個集合是單連通的,它有三個洞。

拓撲學中,單連通拓撲空間的一種性質。直觀地說,單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的基本群刻劃。

定義[编辑]

考慮道路連通之拓撲空間。若中的任意閉曲線皆同倫等價於一個點,則稱該空間為單連通的。換言之,對任意連續映射

存在一點同倫等價使得

另一種等價的敘述是:存在映射,其中表二維單位圓盤,使得

若拓撲空間可寫成單連通開子集之并,則稱之為局部單連通。微分拓撲學所論的空間(例如流形)通常不外此類。

與基本群的關係[编辑]

根據基本群的定義,可知空間單連通之充要條件為:道路連通,且;此處可取任意基點。由此可見空間的單連通性僅依賴於其同倫等價類。

例子[编辑]

將球面的赤道連續地收縮至一點
  • 單位圓盤均為單連通
  • 二維以上球面均為單連通。然而並非單連通:
  • 穿孔之歐氏平面非單連通。事實上,它同倫等價於
  • 非單連通。

性質與應用[编辑]

  • 單連通空間是其自身的萬有覆疊空間
  • 複分析中的黎曼映射定理分類了中的單連通開子集:這種子集或者是自身,或者同構於單位開圓盤。同構在此指黎曼曲面意義下的同構。
  • 在單連通流形上,一次微分形式正合的充要條件是

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Spanier, Edwin. Algebraic Topology. Springer. December 1994. ISBN 0-387-94426-5. 
  • Conway, John. Functions of One Complex Variable I. Springer. 1986. ISBN 0-387-90328-3. 
  • Bourbaki, Nicolas. Lie Groups and Lie Algebras. Springer. 2005. ISBN 3-540-43405-4. 
  • Gamelin, Theodore. Complex Analysis. Springer. January 2001. ISBN 0-387-95069-9. 
  • Joshi, Kapli. Introduction to General Topology. New Age Publishers. August 1983. ISBN 0-85226-444-5.