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單連通

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單連通拓撲學拓撲空間的一種性質。直觀地說,單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的基本群刻劃。拓扑空间的基本群是一个空间是否为单连通的标志:当且仅当空间的基本群是當然群时,道路连通的拓扑空间是单连通的[1]:322

定義[编辑]

這個集合是單連通的,因为任何一个包含“洞”的闭曲线都不能收缩至一点

考慮道路連通的拓撲空間X。若拓撲空間X 中的任意閉曲線皆同倫等價於一個點,則稱該空間為單連通的。 換言之[2], 拓撲空間X 是单连通的充要条件为:對任意連續映射

在拓撲空間X 中,存在一點x同倫等價

使得

另一种等价的定义是:当且仅当拓撲空間X 道路连通,并对任意的、同起点的(即 p(0) = q(0) 且 p(1) = q(1))两条路径 p : [0,1] → Xq : [0,1] → X, 存在一个同伦

使得

此时拓撲空間X 是单连通的。

一个拓扑空间X ,当且仅当拓扑空间X 道路连通,且其基本群仅由单位元素构成时,它是单连通的。[1]:322 类似的,当且仅当对拓扑空间X 中的任意点 (x,y),在X 的基本群中,态射 的集合只有一个元素时,拓扑空间X 是单连通的。[3]

若拓撲空間X 可寫成單連通開子集之并,則稱之為局部單連通。微分拓撲學所論的空間(例如流形)通常不在此類。

複分析中,当且仅当复数域 C 中的开集X 和它的补集在黎曼球面上连通时,X 才是单连通的。 虚部严格大于 0 小于 1 的复数集合,提供了一个有趣的例子:一个无界的、连通的、补集不连通平面的开子集。然而这个集合是单连通的。

讨论[编辑]

粗略的说,如果空间中的某个物体仅由一小块构成,并且没有任何的“洞”穿过它,则这个物体是单连通的。举个例子:甜甜圈和(带手柄的)咖啡杯均不是单连通的;而一个空心橡胶球是单连通的。 在二维的情况下,圆不是单连通的;而(实心)碟片和直线是单连通的。 连通但不是单连通的空间称为非单连通多重连通[4]

球面是单连通的,因为可以将球面上的任意一条闭曲线,沿球面收缩到一点。

这样的定义只排除了类手柄形状的洞。一个球体或空心的球体是单连通的,因为其表面上的任何闭曲线都能连续地收缩到一点,即使球的中心有一个“孔”。 在更强一些的条件下,如果一个物体在任何维度上都没有洞,则称其为可缩空间英语contractible space

例子[编辑]

环面不是单连通的。右图中,任意一条彩色闭曲线,都不能在不离开环面的情况下收缩到一点。
  • 單位圓盤 均為單連通
  • 虽然实数集 R 自身是单连通的,但实数集 R 的单点紧化不是单连通的。
  • 二维欧氏空间 R2 是单连通的,但 R2 除去原点 (0,0) 之后得到的 R2\{0} 非單連通。事實上,它同倫等價於 [5]:195
n > 2时,R2R2\{0} 均是单连通的。
  • n 维欧氏空间 Rn 的每个凸子集都是单连通的[6]
  • 二維以上球面 均為單連通[6]
然而 並非單連通:

性質[编辑]

  • 当且仅当一个表面(二维拓扑流形)是连通的,且它的亏格为 0 时,它才是单连通的。
  • 任何(适宜)空间X通用覆盖都是单连通空间,它通过覆叠映射映射到X
  • XY 是同伦等价的,且X 是单连通的,那么Y 也是单连通的。
  • 单连通集合的图像经连续函数变换后不一定是单连通的。举个例子:复数平面经指数映射后得到 C\{0},它不是单连通的。
  • 在單連通流形上,一次微分形式 ω 正合的充要條件是 dω=0 。

應用[编辑]

单连通性的概念在复分析中十分重要:

  • 柯西积分定理保证:对一个复平面 C 的单连通开集U,若有全纯函数 f : UC,全纯函数f 在集合U 上有不定积分F。则在集合U 上,被积函数f 的每一个线积分的值,只取决于积分路径的两个端点uv,积分值能表示为 F (v) - F (u)。因此,积分值不依赖于连接 uv 的特定路径。
  • 黎曼映射定理保证:除复数域 C 自身外,任何非空的、单连通的复数域 C 的开子集共形等价单位圆盘

单连通性的概念也是庞加莱猜想的一个重要条件。

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 James, R. Munkres. Ch. 9. Topology (2nd Edition) 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. January 7. ISBN 0131816292. OCLC 42683260 (英语). 
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (编), Simply-connected domain, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  3. ^ Ronald,, Brown,. Topology and Groupoids.. Academic Search Complete. North Charleston: CreateSpace. June 2006. ISBN 1419627228. OCLC 712629429 (英语). 
  4. ^ 埃里克·韦斯坦因. Simply Connected. MathWorld. [2018-07-09]. 
  5. ^ Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同伦与度理论. 拓扑学基础及应用. 北京: 机械工业出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091. OCLC 644064114 (中文). 
  6. ^ 6.0 6.1 谢桦. 单连通空间的一些性质. 龙岩学院学报. 1993, 11 (3): 57-59 (中文). 
  • Spanier, Edwin. Algebraic Topology. Springer. December 1994. ISBN 0-387-94426-5 (英语). 
  • Conway, John. Functions of One Complex Variable I. Springer. 1986. ISBN 0-387-90328-3 (英语). 
  • Bourbaki, Nicolas. Lie Groups and Lie Algebras. Springer. 2005. ISBN 3-540-43405-4 (英语). 
  • Gamelin, Theodore. Complex Analysis. Springer. January 2001. ISBN 0-387-95069-9 (英语). 
  • Joshi, Kapli. Introduction to General Topology. New Age Publishers. August 1983. ISBN 0-85226-444-5 (英语).