四元群

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
Q環圖。每一種顏色代表連結至單位元(1)之任一元素的次方。例如,紅色的環反映了i2=−1、i3=−ii4=1的事實。紅環亦反映了(−i)2=−1、(−i)3=i和(−i)4=1之事實。

群論裡,四元群是指一個8目的不可換。它常被標示為Q,且被寫成乘法的形式,以下列的8個元素

Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}

這裡,1是單位元素,(−1)2 = 1且對每個Q內的a,(−1)a = a(−1) = −a。剩下的乘法律能由下列的關係獲得:

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1

Q凱萊表如下:

1 i j k −1 −i −j −k
1 1 i j k −1 −i −j −k
i i −1 k −j −i 1 −k j
j j −k −1 i −j k 1 −i
k k j −i −1 −k −j i 1
−1 −1 −i −j −k 1 i j k
−i −i 1 −k j i −1 k −j
−j −j k 1 −i j −k −1 i
−k −k −j i 1 k j −i −1

需注意的是,此一群為非可換的;如ij=−jiQ有著漢彌爾頓群較不常見的性質:每一個Q子群都是其正規子群,但這個群不是可換的。每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個Q

抽象代數裡,可以造出一個其基底為{1,i,j,k}的實四維向量空間,且使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數。其即為一個稱為四元數除環。需注意的是,這並不是在Q上的群代數(其應該是8維的)。相反地,亦可以先由四元數開始,再「定義」出由八個元素{1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}所組成之乘法子群做為四元群。

ijk都是Q內4目的元素且選定其中任兩個都可以產生出整個群來。Q有著下列的展現

\langle x,y \mid x^4 = 1, x^2 = y^2, yxy^{-1} = x^{-1}\rangle

其中可以取成i=xj=yk=xy

Q中心交換子群為{±1}。其商群 Q/{±1}會同構克萊因四元群VQ內自同構群會同構於Q同餘其中心,且因此也會同構於克萊因四元群。Q的全自同構群會同構於對稱群S4Q外自同構群因此為S4/V,其會同構於S3

四元群Q亦可視為是作用於在有限體GF(3)上之二維向量空間的八個非零元素。關於其圖像,請見圖像化GL(2,p)

廣義四元群[编辑]

一個群若被稱為廣義四元群,則表示其有一個展現

\langle x,y \mid x^{2^{n-1}} = 1, x^{2^{n-2}} = y^2, yxy^{-1} = x^{-1}\rangle

其中n為大於3的整數。此一群的目為2n。原本的四元群為n=3時的特例。廣義四元群可以被理解為單位四元數的子群,其產生子為

x = e^{2\pi i/2^{n-1}}
y = j\,

廣義四元群是雙循環群此一更大類型的一類。廣義四元群有著每個可換子群都是循環的性質。可證明一具有此性質(每個可換子群都是循環的)之有限p-群若不是循環群就是廣義四元群。

另見[编辑]