四平方和定理

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四平方和定理英语:Lagrange's four-square theorem) 說明每个正整数均可表示为4个整数平方和。它是費馬多邊形數定理華林問題的特例。

注意有些整數不可表示為3個整數的平方和,例如7。

历史[编辑]

根据上述欧拉恒等式或四元數的概念可知如果正整数能表示为4个整数的平方和,则其乘积也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

  • 1751年,欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意素数 p,同余方程

必有一组整数解x,y满足(引理一)

至此,证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后,拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

證明[编辑]

根據上面的四平方和恆等式及算術基本定理,可知只需證明質數可以表示成四个整数的平方和即可。

,因此只需證明奇質數可以表示成四个整数的平方和。

根據引理一,奇質數必有正倍數可以表示成四个整数的平方和。在這些倍數中,必存在一個最小的。設該數為。又從引理一可知

證明不會是偶數[编辑]

是偶數,且。由奇偶性可得知必有兩個數或四個數的奇偶性相同。不失一般性設的奇偶性相同,的奇偶性相同,均為偶數,可得出公式:

,與是最小的正整數使得的假設可以表示成四个整数的平方和不符。

證明 [编辑]

現在用反證法證明。設

  • 不可整除的最大公因數,否則可整除,則得的因數,但且p為質數,矛盾。

故存在不全為零、絕對值小於(注意是奇數在此的重要性)整數的使得

可得 ,其中是正整數且小於

  • 下面證明可以表示成四个整数的平方和,從而推翻假設。

,根据四平方和恆等式可知的倍數,令

矛盾。

引理一的證明[编辑]

的剩餘兩個一組的分開,可得出組,分別為。 將模二次剩餘個,分別為

是模的二次剩餘,選取使得,則,定理得證。

不屬於模的二次剩餘,則剩下組,分別為,而模的二次剩餘仍有個,由於 ,根據抽屜原理,存在