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四維矢量

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用表示;而其大小則用來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如,。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,表示平方;而的第二個分量。

相對論裏,四維向量four-vector)是實值四維向量空間裏的矢量。這四維向量空間稱為閔考斯基時空。四維向量的分量分別為時間與三維位置。在閔考斯基時空內的任何一點,都代表一個事件,可以用四維向量表示。應用勞侖茲變換,而不是伽利略變換,我們可以使對於某慣性參考系的四維向量,經過平移旋轉,或遞升(相對速度為常數的勞侖茲變換),變換到對於另一個慣性參考系的四維向量。所有這些平移,旋轉,或遞升的集合形成了龐加萊群Poincaré group)。所有的旋轉,或遞升的集合則形成了勞侖茲群Lorentz group)。

本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量,雖然,四維向量概念也延伸至廣義相對論。在本文章內寫出的一些結果,必須加以修改,才能在廣義相對論範圍內成立。

數學性質[编辑]

閔考斯基時空內的任何一點,都可以用四維向量(一組標準基底的四個坐標)來表示;其中,上標標記時空的維數次序。稱這四維向量為坐標四維向量,又稱四維坐標,定義為

其中,光速是時間,是位置的三維直角坐標

為了確使每一個坐標的單位都是長度單位,定義

四維位移定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖裏,四維位移可以用一隻從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點時,位移就是位置。關於四維向量的理論,通常提到的是位移。四維位移表示為

帶有上標的四維向量稱為反變矢量,其分量標記為

假若,標號是下標,則稱四維向量協變矢量。其分量標記為

設定閔考斯基度規

那麼,採用愛因斯坦求和約定,四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為

閔考斯基度規等於其共軛度規張量

勞侖茲變換[编辑]

給予兩個慣性參考系 ;相對於參考系 ,參考系 以速度移動。對於這兩個參考系,相關的勞侖茲變換矩陣

其中,勞侖茲因子貝他因子

對於這兩個參考系,假設一個事件的四維坐標分別為。那麼,這兩個四維坐標之間的關係為

其中,逆反

因為

所以,勞侖茲變換矩陣有一個特性:

其中,克羅內克函數

另外一個很有用的特性為

透過勞侖茲變換,給予一個事件對於某慣性參考系的四維坐標,即可計算出這事件對於另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很優良的物理性質。當研究物理現象時,所涉及的四維向量,最好都能夠具有這優良的性質。這樣,可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示,對於兩個參考系 ,具有這種優良性質的四維向量滿足

在計算這四維向量對於時間的導數時,若能選擇固有時為時間變數,則求得的四維向量仍舊具有這優良的性質。因為,固有時乃是個不變量;改換慣性參考系不會改變不變量。

假設一個物體運動於閔考斯基時空。相對於實驗室參考系,物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻,選擇與這物體同樣運動的慣性參考系,稱為靜止參考系。相對於這靜止參考系,這物體的速度為零。隨著物體不斷地改變運動速度與方向,新的慣性參考系也會不斷地改換為靜止參考系。隨著這些不斷改換的靜止參考系所測得的時間即為固有時,標記為 。這就好像給物體掛戴一隻手錶,隨著物體的運動,手錶也會做同樣的運動,而手錶所紀錄的時間就是固有時。

這物體的運動可以用一條世界線world line來描述。由於時間膨脹,發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 與從別的慣性參考系 所觀測到的微小時間間隔 的關係為

所以,固有時 對於其它時間 的導數為

閔考斯基內積[编辑]

兩個四維向量內積,以方程式表示為:

有時候,這內積被稱為閔考斯基內積。從數學觀點來說,由於這內積並不具正定性,這內積並不是完美的內積。例如,

可能會是負數;而內積一定不是負數。

許多學者喜歡使用相反正負號的

這樣,內積改變為

其它相聯的量值也會因而改變正負號,但這不會改變系統的物理性質。

從某一坐標系 變換至另外一坐標系 ,內積的值為

所以,在閔考斯基時空內,兩個四維向量的內積是個不變量

四維向量可以分類為類時類空,或類光零矢量):

類時矢量:
類空矢量:
類光矢量:

動力學實例[编辑]

四維速度[编辑]

假設一個物體運動於閔考斯基時空。其世界線的任意事件的四維速度 定義為

其中,是三維速度,或經典速度矢量。

的空間部分與經典速度矢量的關係為

四維速度與自己的內積等於光速平方,一個不變量:

四維加速度[编辑]

四維加速度 定義為

經過一番運算,可以得到勞侖茲因子對於時間的導數:

其中,經典加速度

所以,四維加速度 可以表示為

由於 是個常數,四維加速度(假)正交於四維速度;也就是說,四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零:

對於每一條世界線,這計算結果都成立。

四維動量[编辑]

一個靜止質量的粒子的四維動量定義為

經典動量定義為

其中,是相對論性質量。

所以,的空間部分等於經典動量

四維力[编辑]

作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數:

提出四維動量內的靜止質量因子,即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度:

因此,四維力可以表示為

經典力定義為

所以,的空間部分等於

物理內涵[编辑]

在四維向量的表述裏,存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係,可以顯示出這表述的功能與精緻。

質能方程式[编辑]

假設,在微小時間間隔,一個運動於時空的粒子,感受到作用力的施加,而這粒子的微小位移為。那麼,作用力對於這粒子所做的微小機械功

因此,這粒子的動能的改變

粒子的動能對於時間的導數為

將前面經典力和經典速度的公式帶入,可以得到

這公式的反微分為

當粒子靜止時,動能等於零。所以,

這公式的右手邊第二個項目就是靜止能量。動能加上靜止能量等於總能量

再加簡化,以相對論性質量表示:

這方程式稱為質能方程式

能量-動量關係式[编辑]

使用質能方程式,四維動量可以表示為

四維動量與自己的內積為

改以四維速度來計算內積:

所以,能量-動量關係式為

電磁學實例[编辑]

四維電流密度[编辑]

電磁學裏,四維電流密度是一個四維向量,定義為

其中,電荷密度是三維電流密度

在靜止參考系所觀測到的電荷密度,稱為固有電荷密度。四維電流密度與四維速度的關係為

電荷守恆定律能以三維矢量表示為

這定律也能以四維電流密度表示為

從這方程式,可以推論四維電流密度的四維散度等於零。

電磁四維勢[编辑]

電磁四維勢是由電勢矢量勢共同形成的,定義為

黎曼-索末菲方程式表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係[1]

 ;

其中,磁常數達朗貝爾算符,又稱為四維拉普拉斯算符

四維頻率和四維波矢量[编辑]

一個平面電磁波四維頻率定義為

其中,是電磁波的頻率是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零:

一個近單色光波包的波動性質可以用四維波矢量來描述:

其中,是三維波矢量

四維波矢量與四維頻率之間的關係為

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X. 
  • Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edition). Clarendon Press Oxford. 1991. ISBN 0-19-853952-5.