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四維矢量

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小則用 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如,。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,表示平方;而的第二個分量。

相對論裏,四維向量four-vector)是實值四維向量空間裏的矢量。這四維向量空間稱為閔考斯基時空。四維向量的分量分別為在某個時間點與三維空間點的四個數量。在閔考斯基時空內的任何一點,都代表一個「事件」,可以用四維向量表示。從任意慣性參考系觀察某事件所獲得的四維向量,通過勞侖茲變換,可以變換為從其它慣性參考系觀察該事件所獲得的四維向量。

本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量,儘管四維向量的概念延伸至廣義相對論。在本文章內寫出的一些結果,必須加以修改,才能在廣義相對論範圍內成立。

數學性質[编辑]

在閔考斯基時空裡,不同慣性參考系的座標軸

閔考斯基時空內的任何一點,都可以用四維向量(一組標準基底的四個坐標) 來表示;其中,上標 標記時空的維數次序。稱這四維向量為「坐標四維向量」,又稱「四維坐標」,定義為

其中,光速 是時間, 是位置的三維直角坐標

為了確使每一個坐標的單位都是長度單位,定義

「四維位移」定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖裏,四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點時,位移就是位置。四維位移 表示為

帶有上標的四維向量 稱為反變矢量,其分量標記為

假若,標號是下標,則稱四維向量 協變矢量。其分量標記為

在這裡,閔考斯基度規 被設定為

採用愛因斯坦求和約定,則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為

閔考斯基度規與它的「共軛度規張量」 相等:

勞侖茲變換[编辑]

給予兩個慣性參考系 ;相對於參考系 ,參考系 以速度 移動。對於這兩個參考系,相關的「勞侖茲變換矩陣」

其中,勞侖茲因子是「貝塔因子」。

對於這兩個參考系 ,假設一個事件的四維坐標分別為 。那麼,這兩個四維坐標之間的關係為

其中,逆反

將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一,則可得到

因此,可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性:

其中,克羅內克函數

另外一個很有用的特性為

給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標,通過勞侖茲變換,就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時,所涉及的四維向量,最好都能夠具有這有用的性質。這樣,可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示,對於兩個參考系 ,具有這種有用性質的四維向量 滿足

在計算這四維向量對於時間的導數時,若能選擇固有時為時間變數,則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為,固有時乃是個不變量;改變慣性參考系不會改變不變量。

假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡,物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻,選擇與物體同樣運動的慣性參考系,稱為「瞬間共動參考系」(momentarily comoving reference frame)。在這瞬間共動參考系裡,物體的速度為零,因此,這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向,新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。[1]:41-42隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時,標記為 。這就好像給物體掛戴一隻手錶,隨著物體的運動,手錶也會做同樣的運動,而手錶所紀錄的時間就是固有時。

這物體的運動可以用一條世界線 來描述。由於時間膨脹,發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 與從別的慣性參考系 所觀測到的微小時間間隔 的關係為

所以,固有時 對於其它時間 的導數為

閔考斯基內積[编辑]

在閔考斯基空間裡,兩個四維向量 內積,稱為閔考斯基內積,以方程式表示為:

由於這內積並不具正定性,即

可能會是負數;而歐幾里得內積一定不是負數。

許多學者喜歡使用相反正負號的

這樣, 的內積改變為

其它相聯的量值也會因而改變正負號,但這不會改變系統的物理性質。

從參考系 改換至另一參考系 的內積為

所以,在閔考斯基時空內,兩個四維向量的內積是個不變量[1]:44-46

四維向量可以分類為類時類空,或類光零矢量):

類時矢量:
類空矢量:
類光矢量:

動力學實例[编辑]

四維速度[编辑]

設想一個物體運動於閔考斯基時空,則其世界線的任意事件 的四維速度 定義為[1]:46-48

其中, 是三維速度,或經典速度矢量。

的空間部分與經典速度 的關係為

四維速度與自己的內積等於光速平方,是一個不變量:

在物體的瞬間共動參考系裡,物體的速度為零,因此,四維速度為

其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量 同向;

其中, 表示從瞬間共動參考系觀察得到的數據。

四維加速度[编辑]

四維加速度 定義為 [1]:46-48

經過一番運算,可以得到勞侖茲因子對於時間的導數:

其中,經典加速度

所以,四維加速度 可以表示為

由於 是個常數,四維加速度與四維速度相互正交;也就是說,四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零:

對於每一條世界線,這計算結果都成立。

注意到在瞬間共動參考系裡, 只有時間分量不等與零,所以, 為的時間分量為零:

四維動量[编辑]

一個靜止質量 的粒子的四維動量 定義為

經典動量 定義為

其中, 是相對論性質量。

所以, 的空間部分等於經典動量

四維力[编辑]

作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數:

提出四維動量內的靜止質量因子,即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度:

因此,四維力可以表示為

經典力 定義為

所以,的空間部分等於

物理內涵[编辑]

在四維向量的表述裏,存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係,可以顯示出這表述的功能與精緻。

質能方程式[编辑]

假設,在微小時間間隔 ,一個運動於時空的粒子,感受到作用力 的施加,而這粒子的微小位移為 。那麼,作用力 對於這粒子所做的微小機械功

因此,這粒子的動能的改變

粒子的動能 對於時間的導數為

將前面經典力和經典速度的公式帶入,可以得到

這公式的反微分為

當粒子靜止時,動能等於零。所以,

這公式的右手邊第二個項目就是靜止能量 。動能 加上靜止能量 等於總能量

再加簡化,以相對論性質量 表示:

這方程式稱為質能方程式

能量-動量關係式[编辑]

使用質能方程式 ,四維動量可以表示為

四維動量與自己的內積為

改以四維速度來計算內積:

所以,能量-動量關係式為

電磁學實例[编辑]

四維電流密度[编辑]

電磁學裏,四維電流密度 是一個四維向量,定義為

其中,電荷密度 是三維電流密度

在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度,稱為固有電荷密度 。四維電流密度與四維速度的關係為

電荷守恆定律能以三維矢量表示為

這定律也能以四維電流密度表示為

從這方程式,可以推論四維電流密度的四維散度等於零。

電磁四維勢[编辑]

電磁四維勢是由電勢 矢量勢 共同形成的,定義為

黎曼-索末菲方程式表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係[2]

 ;

其中,磁常數達朗貝爾算符,又稱為四維拉普拉斯算符

四維頻率和四維波矢量[编辑]

一個平面電磁波四維頻率 定義為

其中, 是電磁波的頻率 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零:

一個近單色光波包的波動性質可以用四維波矢量 來描述:

其中, 是三維波矢量

四維波矢量與四維頻率之間的關係為

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Bernard Schutz. A First Course in General Relativity. Cambridge University Press. 14 May 2009. ISBN 978-0-521-88705-2. 
  2. ^ Carver A. Mead. Collective Electrodynamics: Quantum Foundations of Electromagnetism. MIT Press. 2002: 37–38. ISBN 9780262632607. 
  • Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X. 
  • Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edition). Clarendon Press Oxford. 1991. ISBN 0-19-853952-5.