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四維頻率

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用表示;而其大小則用來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如,。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,表示平方;而的第二個分量。

電磁學裏,平面電磁波四維頻率 以公式定義為

其中, 是電磁波的頻率 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量

四維頻率與自己的內積永遠等於零:

類似地,四維角頻率 以公式定義為

其中, 是電磁波的角頻率

顯然地,

四維波向量 與四維角頻率有密切的關係,定義為

其中, 是電磁波的波向量

在本篇文章裏,閔可夫斯基度規的形式被規定為 ,這是参考了約翰·傑克森John D. Jackson)的著作《經典電動力學》中所採用的形式;並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定

勞侖茲變換[编辑]

給予兩個慣性參考系 ;相對於參考系 ,參考系 以速度 移動。對於這兩個參考系,相關的勞侖茲變換矩陣 [1]

其中,勞侖茲因子貝他因子 分別是參考系 對於參考系 的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度 的貝他因子。

設定一個朝著 方向傳播於真空的平面電磁波,對於參考系 ,這平面電磁波以公式表達為

其中, 分別是電磁波的電場磁場 分別是其波幅 是四維波向量,四維位置 是位置, 分別垂直於 ,而且

那麼,對於參考系 ,這平面電磁波以公式表達為

四維波向量 之間的關係為

經過一番運算,可以求得

其中, 是參考系 相對於參考系 四維速度 是參考系 相對於參考系 的速度。

在真空裏,四維頻率與四維波向量之間的關係為

所以,

這也是參考系 的觀察者所觀察到的頻率。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 543–548, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 
  • Woodhouse, N.M.J. Special Relativity. London: Springer-Verlag. 2003: 84–90. ISBN 1852334266. 
  • Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.