四角六片四角孔扭歪無限面體

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四角六片四角孔扭歪無限面體
四角六片四角孔扭歪無限面體
(點選檢視旋轉模型)
類別 正扭歪無限面體
無限個正方形
無限
頂點 無限
6個正方形的公共頂點
頂點圖 扭歪六邊形
{3}#{ }
頂點佈局英语Vertex_configuration 同於立方體堆砌
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png
施萊夫利符號 {4,6|4}
對偶 六角四片四角孔扭歪無限面體
特性 扭歪點可遞英语vertex-transitive
立體圖 Six-square skew polyhedron-vf.png
扭歪六邊形
{3}#{ }
頂點圖
Four-hexagon skew polyhedron.png
六角四片四角孔扭歪無限面體
(對偶多面體)

幾何學中,四角六片四角孔扭歪無限面體(日语:四角六片四角孔ねじれ正多面体[1]是一種正扭歪無限面體,由考克斯特和皮特里於1926年時發現[2][3],並命名為多立方體(英語:Mucube[4]。其對偶多面體六角四片四角孔扭歪無限面體[5]

四角六片四角孔扭歪無限面體是一種扭歪正多面體,可以看做是立方體空間填充形式——立方體堆砌少去部分正方形面的結果[6]

性質[编辑]

四角六片四角孔扭歪無限面體

四角六片四角孔扭歪無限面體由無限個正方形組成,每個頂點都是6個正方形的公共頂點,在頂點圖中為一個扭歪六邊形,此扭歪六邊形可以視為正八面體皮特里多邊形英语Petrie_polygon,為下圖中的黑線部分。

Skew polygon in triangular antiprism.png

四角六片四角孔扭歪無限面體由無限個正方形組成,並且在中間形成正方形的孔洞,在施萊夫利符號中計為{4,6|4},第一個4表示其由正方形構成,6表示每個頂點都是6個正方形的公共頂點,第二個4表示幾何體中間有正方形的孔洞。其對偶多面體六角四片四角孔扭歪無限面體施萊夫利符號中計為{6,4|4}。

相關多面體與鑲嵌[编辑]

四角六片四角孔扭歪無限面體是三種正扭歪無限面體之一,另外兩種為:

图像 Mucube.png
四角六片四角孔扭歪無限面體
Muoctahedron.png
六角四片四角孔扭歪無限面體
Mutetrahedron.png
六角六片三角孔扭歪無限面體
施萊夫利符號 {4,6|4} {6,4|4} {6,6|3}

四角六片四角孔扭歪無限面體在拓樸中相當於六階正方形鑲嵌(施萊夫利符號:{4,6})的商空間,將四角六片四角孔扭歪無限面體中的結構進行拓樸變形可以構成一個六階正方形鑲嵌。

Uniform tiling 46-t0.png

其他四角扭歪無限面體[编辑]

有些扭歪無限面體也是由正方形組成的,例如四角六片五角孔扭歪無限面體。

四角六片五角孔扭歪無限面體[编辑]

幾何學中,四角六片五角孔扭歪無限面體(日语:四角六片五角孔ねじれ正多面体)是一種位於雙曲緊湊空間的正扭歪無限面體。其在施萊夫利符號中計為{4,6|5},表示每個頂點都是6個正方形的公共頂點,並且具有正五邊形的孔洞。

四角六片五角孔扭歪無限面體於1967年時由C. W. L. Garner發現[7],可看作是由截半五階十二面體堆砌(Runcinated order-5 dodecahedral honeycomb)移除所有正五邊形面來構造。

H3 535-1001 center ultrawide.png

四角六片五角孔扭歪無限面體的對偶多面體為六角四片五角孔扭歪無限面體,與其相同頂點布局的堆砌體為過截角五階十二面體堆砌(Bitruncated order-5 dodecahedral honeycomb)。

四角五片扭歪無限面體[编辑]

幾何學中,四角五片扭歪無限面體(日语:四角五片ねじれ正多面体)是指具有每個頂點都是五個正方形的公共頂點的扭歪多面體[3],有兩種形式,其具有的空間群在考克斯特記號英语Coxeter notation中分別計為[8][9]

图像 Pseudo-platonic cubic polyhedron.png
頂點附近的面 Pseudo-platonic cubic polyhedron vertex.png Pseudo-platonic hexagonal prism truncated octahedral polyhedron vertex.png

有限的扭歪多面體[编辑]

扭歪多面體是指面與頂點並不存在同一個三維空間而無法確定體積的多面體,除了扭歪無限面體是退化的情況外,有限面的扭歪多面體僅能存在於四維或以上的空間。

四維空間[编辑]

在四維空間中,有部分由正方形組成的扭歪多面體,例如:四角六片三角孔扭歪正三十面體{4,6|3}

四角六片三角孔扭歪正三十面體[编辑]
四角六片三角孔扭歪正三十面體
四角六片四角孔扭歪無限面體
(施萊格爾投影)
類別 扭歪正多面體
30
60
頂點 20
歐拉特徵數 F=30, E=60, V=20 (χ=-10)
頂點圖 扭歪六邊形
{3}#{ }
頂點佈局英语Vertex_configuration 同於截半五胞體英语Runcinated 5-cell
施萊夫利符號 {4,6|3}
特性 扭歪, 點可遞英语vertex-transitive
Six-square skew polyhedron-vf.png
扭歪六邊形
{3}#{ }
頂點圖

幾何學中,四角六片三角孔扭歪正三十面體(日语:四角六片三角孔ねじれ正三十面体)是一種位於四維空間的正扭歪多面體。其在施萊夫利符號中計為{4,6|3},表示每個頂點都是6個正方形的公共頂點,並且具有正三角形的孔洞。

四角六片三角孔扭歪正三十面體由30個面、60條邊和20個頂點組成,可以看做是截半五胞體英语Runcinated 5-cell去除所有正三角形面的結果,因此與截半五胞體英语Runcinated 5-cell共用相同的頂點布局。

四角六片三角孔扭歪正三十面體的對偶多面體為六角四片三角孔扭歪正二十面體,由20個正六邊形組成。

性質[编辑]

四角六片三角孔扭歪正三十面體由30個正方形組成,每個頂點都是6個正方形的公共頂點,在頂點圖中可以用46來表示,並且可以視為六階正方形鑲嵌的商空間。

體積與表面積

扭歪多面體不存在一個唯一的空間區域,就如同扭歪多邊形(不共面多邊形)無法找到一個唯一的多邊形內部區域一樣,因此四角六片三角孔扭歪正三十面體的體積不存在,但仍可以球表面積,其表面積為30個正方形面的面積,即32倍的邊長平方。

結構
四角六片三角孔扭歪正三十面體 截半五胞體英语Runcinated 5-cell
4-6-3 skew polyhedron.svg Schlegel half-solid runcinated 5-cell.png
施萊格爾投影

四角六片三角孔扭歪正三十面體的結構為S5群,其對稱群在考克斯特符號中可以用[[3,3,3]+]表示,且階數為60,並且與截半五胞體英语Runcinated 5-cell共用相同的頂點布局。

四角四片多角孔扭歪正多面體[编辑]
四角四片n角孔扭歪正n2面體可以表示為四維柱體柱的正方形面,且具有正n邊形的孔洞,且可以代表克里福德環英语clifford torus。這種形狀近似於圓柱體柱英语duocylinder

由正方形組成且每個頂點都是4個正方形的公共頂點的扭歪多面體是一個無窮集合,其孔洞可以是任意多邊形,其可以從四維柱體柱英语Duoprism構造。

名稱 四角四片三角孔
扭歪正九面體
四角四片四角孔
扭歪正十六面體
四角四片五角孔
扭歪正二十五面體
四角四片六角孔
扭歪正三十六面體
四角四片n角孔
扭歪正n2面體
圖像 4-4-4 skew polyhedron.png 6-6 duoprism torus.png
9 16 25 36 n2
18 32 50 72 2n2
頂點 9 16 25 36 n2
歐拉特徵數 0(虧格=1) 0(虧格=1) 0(虧格=1) 0(虧格=1) 0(虧格=1)
相同
頂點布局
的形狀
3-3 duoprism.png
三角三角柱體柱英语3-3 duoprism
4-4 duoprism.png
超立方體
5-5 duoprism.png
五角五角柱體柱英语5-5 duoprism
6-6 duoprism.png
六角六角柱體柱英语6-6 duoprism
8-8 duoprism.png
n角n角柱體柱
(n-n duoprism)

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. Petrie–Coxeter Maps Revisited PDF, Isabel Hubard, Egon Schulte, Asia Ivic Weiss, 2005
  2. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5,
  3. Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
  4. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
    • (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240–244.
  5. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.)
  1. ^ 1.0 1.1 正多面体を解く. Tokai library. 東海大学出版会. 2002 [2018-09-02]. ISBN 9784486015871. (原始内容存档于2018-09-02). 
  2. ^ Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
  3. ^ 3.0 3.1 いくろ こたろ. ねじれ多面体. geocities.jp. [2018-09-02]. (原始内容存档于2018-10-08). 
  4. ^ The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
  5. ^ kotetu. 準結晶とウイルスの意外な関係. eonet.ne.jp. 2017-03-31 [2018-09-02]. (原始内容存档于2017-08-13). 
  6. ^ 正多面体を解く2002 [1] 第6章 ねじれ正多面体:ねじれ多面体の具体的構成法
  7. ^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] 页面存档备份,存于互联网档案馆 Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.
  8. ^ J. R. Gott, Pseudopolyhedrons, American Mathematical Monthly, Vol 74, p. 497-504, 1967.
  9. ^ The Symmetries of things, Pseudo-platonic polyhedra, p.340-344

外部連結[编辑]