四角化菱形十二面體

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四角化菱形十二面體
四角化菱形十二面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別卡塔蘭立體
對偶多面體大斜方截半立方体
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
康威表示法mC
性質
48
72
頂點26
歐拉特徵數F=48, E=72, V=26 (χ=2)
二面角155° 4' 56"
組成與佈局
面的種類
DU11 facets.png

不等邊三角形
面的佈局
英语Face configuration
V4.6.8
頂點圖V4.6.8
對稱性
對稱群Oh, B3, [4,3], *432
旋轉對稱群
英語Rotation_groups
O, [4,3]+, (432)
特性
面可遞
圖像
立體圖 DU11 facets.png
V4.6.8
頂點圖
Truncatedcuboctahedron.jpg
大斜方截半立方体
(對偶多面體)
Disdyakisdodecahedron net.png
(展開圖)

幾何學中,四角化菱形十二面體是一種由48個不等邊三角形組成的卡塔蘭多面體,又稱為六八面體(hexoctahedron)[1][2]六角化八面體(hexakis octahedron[3][4][5][6])、八角化立方體(octakis cube、octakis hexahedron)、菱形四角化十二面體(kisrhombic dodecahedron[8]),雖然其具有面可遞的性質,然而由於其組成的面不是正多邊形因此不能算是正多面體[9],其對偶多面體為大斜方截半立方體

性質[编辑]

四角化菱形十二面體卡塔蘭立體的一種[10],即阿基米德立體對偶多面體[11],其對應的阿基米德立體為大斜方截半立方體[12][13]。並具有面可遞的性質,這意味著,這立體上的任意兩個面A和B,透過旋轉或鏡射這個立體,使A移動到B原來的位置時,其面仍然佔據了相同的空間區域[14]。所有的正多面體都擁有這個特性,然而四角化菱形十二面體並未所有邊等長、組成的面也非正多邊形,因此不屬於正多面體[9]

組成[编辑]

四角化菱形十二面體共由48個、72個、26個頂點組成,其中48個面為全等的三角形、72條邊則有3種長度,每個長度各24條、26個頂點當中,有12個四面角頂點、8個六面角頂點、和 6個八面角頂點[15]

四角化菱形十二面體可以將菱形十二面體透過四角化變換來完成,其等價於將菱形十二面體每個面替換成一個頂點和四個三角形[9]或在菱形十二面體的每個面上疊上一個菱形錐來組成四角化菱形十二面體。

體積與表面積[编辑]

一個最短邊邊長為單位長的四角化菱形十二面體,其表面積A、體積V為[16]

對稱性[编辑]

四角化菱形十二面體具有Oh, B3, [4,3] (*432)的八面體群對稱性英语Octahedral_symmetry。其每條稜皆代表八面體群對稱性的鏡射線。其結構也可以透過將立方體在每個正方形面上以正方形的頂點、邊中點和幾何中心為基準將正方形分成8個三角形、或透過將正八面體在每個三角形面上以正三角形的頂點、邊中點和幾何中心為基準將正三角形分成6個三角形、或透過將菱形十二面體在每個菱形面上以菱形的幾何中心為基準將菱形分成四個三角形來看出。[17]

Disdyakis dodecahedron.png
四角化菱形十二面體
Spherical disdyakis dodecahedron2.png
球面鑲嵌
Disdyakis dodecahedron cubic.png
立方體
Disdyakis dodecahedron octahedral.png
正八面體
Rhombic dodeca.png
菱形十二面體

球極投影[编辑]

與四角化菱形十二面體對應的球面鑲嵌可透過透過9個球面大圓來構建[18](即四角化菱形十二面體投影到球面的結果)[10],因此在球極平面投影中,四角化菱形十二面體的稜可以在平面上形成9個圓或中心徑向線。這9個圓或中心徑向線可以分成兩組,其中一組由3個圓或中心徑向線組成(下圖以紫色表示)、另一組由6個圓或中心徑向線組成(下圖以紅色表示),分別代表其兩個正交子群,分別是[2,2]英语Dihedral_symmetry_in_three_dimensions[3,3]英语tetrahedral symmetry

球極投影
平行投影 球極平面投影
圖像 Spherical disdyakis dodecahedron Disdyakis dodecahedron stereographic D4.png Disdyakis dodecahedron stereographic D3.png Disdyakis dodecahedron stereographic D2.png
投影對稱性 [4] [3] [2]

正交投影[编辑]

四角化菱形十二面體及其對偶多面體大斜方截半立方体存在多個能投影出對稱正交投影的投影方向。前兩者的對偶圖其對稱性對應於A2和B2考克斯特平面英语Coxeter plane[19][20]

正交投影
投影對稱性 [4] [3] [2] [2] [2] [2] [2]+
圖像 Dual cube t012.png Dual cube t012 B2.png Dual cube t012 f4.png Dual cube t012 e46.png Dual cube t012 e48.png Dual cube t012 e68.png Dual cube t012 v.png
對偶圖像 3-cube t012.svg 3-cube t012 B2.svg Cube t012 f4.png Cube t012 e46.png Cube t012 e48.png Cube t012 e68.png Cube t012 v.png

面的組成[编辑]

四角化菱形十二面體由48個全等的不等邊三角形組成[21]

DU11 facets.png

該三角形三邊皆不等長。若其對偶多面體的大斜方截半立方体邊長為單位長,則對應的四角化菱形十二面體組成面,最短邊長為、次長邊長為、最長邊長為[15]。若最短邊長為單位長,則對應的短邊長為1、次長邊長為、最長邊長為,三個角角度分別為(55.02° ,37.77° ,87.20°)[22]

相關多面體與鑲嵌[编辑]

Conway polyhedron m3O.png Conway polyhedron m3C.png
領結立方體和領結八面體的對偶多面體是一個外觀與四角化菱形十二面體類似的多面體,其包含了額外的三角形對。[23]

四角化菱形十二面體可以將菱形十二面體透過四角化變換來完成,其等價於將菱形十二面體每個面替換成一個頂點和四個三角形[9],而菱形十二面體可以經由立方體透過會合變換構造,即將立方體每個面貼上角錐,並用適當的錐高,使角錐側面與鄰近面上貼的角錐之測面共面來獲得。亦可以從其對偶多面體大斜方截半立方体經對偶變換而來,而四角化菱形十二面體也可以變換回其對偶大斜方截半立方体[24],而大斜方截半立方体也是立方体經過康威變換的結果。因此四角化菱形十二面體可以視為一個以立方體為出發點經由2次康威變換來完成。其他也是由立方體為出發點經由有限次的康威變換產生的多面體有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg POV-Ray-Dodecahedron.svg
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3
Rhombic dodecahedron with 3 colors.svg Disdyakis dodecahedron 3color.png Three flattened octahedra compound.png DU21 great rhombihexacron.png
菱形十二面體 四角化菱形十二面體 星形四角化菱形十二面體 反平行四邊形二十四面體

在面的布局中,四角化菱形十二面體可以寫成V4.6.8 ,其意義為其面由3個頂點組成,每個頂點依序是:四個面的公共頂點、六個面的公共頂點和八個面的公共頂點[25]。其可以進一步的列在V4.6.2n的無窮序列中n為4的位置。

*n32變異對稱性4.6.2n的全截鑲嵌系列:
對稱性
*n32英语Orbifold notation
[n,3]英语Coxeter notation
球面鑲嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 歐氏鑲嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 緊湊雙曲 仿緊雙曲 非緊雙曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*∞32
[∞,3]
 
[12i,3]
 
[9i,3]
 
[6i,3]
 
[3i,3]
圖像 Spherical truncated trigonal prism.png Uniform tiling 332-t012.png Uniform tiling 432-t012.png Uniform tiling 532-t012.png Uniform polyhedron-63-t012.png H2 tiling 237-7.png H2 tiling 238-7.png H2 tiling 23i-7.png H2 tiling 23j12-7.png H2 tiling 23j9-7.png H2 tiling 23j6-7.png H2 tiling 23j3-7.png
頂點英语Vertex configuration 4.6.4 4.6.6 4.6.8 4.6.10 4.6.12 4.6.14英语Truncated triheptagonal tiling 4.6.16英语Truncated trioctagonal tiling 4.6.∞英语Truncated triapeirogonal tiling 4.6.24i 4.6.18i 4.6.12i 4.6.6i
對偶 Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical tetrakis hexahedron.png Spherical disdyakis dodecahedron.png Spherical disdyakis triacontahedron.png Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg H2checkers 237.png H2checkers 238.png H2checkers 23i.png H2 checkers 23j12.png H2 checkers 23j9.png H2 checkers 23j6.png H2 checkers 23j3.png
英语Face configuration V4.6.4 V4.6.6 V4.6.8 V4.6.10 V4.6.12 V4.6.14 V4.6.16 V4.6.∞ V4.6.24i V4.6.18i V4.6.12i V4.6.6i

四角化菱形十二面體圖[编辑]

四角化菱形十二面體圖
Disdyakis Dodecahedral Graph.svg
分布4 (12個)
6 (8個)
8 (6個)
顶点26
72
半径4[26]
直径4[26]
围长3
色数3[26]
對偶圖大斜方截半立方體圖
属性平面, 可積英语Integral graph

圖論的數學領域中,與四角化菱形十二面體相關的圖為四角化菱形十二面體圖(Disdyakis Dodecahedral Graph),是四角化菱形十二面體之邊與頂點的圖英语1-skeleton[26],是一個阿基米德對偶圖[27]

性質[编辑]

四角化菱形十二面體圖有72條邊和26個頂點,其中為4的頂點有12個、度為6的頂點有8個、度為8的頂點有6個。[26]

Graph of the disdyakis dodecahedron.svg

特徵多項式[26]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
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  14. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822 .
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  24. ^ Verbiese, Samuel; et al, Tribute to the Atomium (PDF), Proceedings of the Bridges Conference in London, 2006 [2019-09-04], (原始内容存档 (PDF)于2017-08-09) 
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  26. ^ 26.0 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 埃里克·韦斯坦因. Disdyakis Dodecahedral Graph. MathWorld. 
  27. ^ 埃里克·韦斯坦因. Archimedean Dual Graph. MathWorld. 

外部連結[编辑]