四角錐數

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1 + 4 + 9 + 16 = 30 是四角錐数

數學中,四角錐數,或金字塔數,是一個有形數表示有多少球堆積成一個金字塔(四角錐)(如右圖),這是以正方形為基礎(底面正方形)。

四角錐數(square pyramidal number)如右圖所示,第一層+第二層+第三層+第四層每層都是正方形數合起來是正四角錐,也就是正方形數的級數。

例: 1, 5 (=1+4), 14(=1+4+9), 30(=1+4+9+16), 55(=1+4+9+16+25)

cannonballs 堆成的金字塔存放在法國的斯特拉斯堡歷史博物館。 球的數量就是四角錐數, 55

計算方式與公式[编辑]

前幾個四角錐數是:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819 (OEIS中的数列A000330).

這些數字可以表示為一個公式:

P_n = \sum_{k=1}^nk^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}.

這是馮哈伯公式的一個特例,可以用數學歸納法來證明。

和其他有形數的關係[编辑]

四角錐數也可以表示成二項式係數的和:

P_n = {{n + 2} \choose 3} + {{n + 1} \choose 3}

兩個四角錐數的總和是一個八面體數.

參見[编辑]

參考文獻和資料來源[编辑]

  • Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55. 1964: 813. ISBN 0486612724. 
  • Beiler, A. H. Recreations in the Theory of Numbers. Dover. 1964: 194. ISBN 0486210960. 
  • Goldoni, G. A visual proof for the sum of the first n squares and for the sum of the first n factorials of order two. The Mathematical Intelligencer. 2002, 24 (4): 67–69. 
  • Sigler, Laurence E. (trans.). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. 2002: 260–261. ISBN 0-387-95419-8. 

外部連結[编辑]