四邊形

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四邊形
Six Quadrilaterals.svg
六種四邊形
4
頂點 4
施萊夫利符號 {4} (正方形時)
面積 various methods;
見下文
內角 360

四邊形是有四條邊、四個頂點或角的多邊形

簡單四邊形[编辑]

四邊形可以分成簡單四邊形和複雜四邊形兩大類,簡單四邊形表示邊沒有交錯的四邊形,複雜四邊形表示邊有交錯的四邊形。

凸四邊形[编辑]

凸四邊形是指所有腳都比平角小的四邊形,且兩條對角線都落在其內部。

  • 不規則凸四邊形:是凸四邊形中最大的子集,包含了所有的凸四邊形,一般會用任意凸四邊興稱呼之。
  • 不平行四邊形:沒有任何邊互相平行的四邊形。這個四邊形的名稱在英式英文與美式英文中有不同的稱呼,英式英文將之稱為quadrilateral,而北美英文英语North American English則稱為trapezium。
  • 梯形:至少有一對邊平行的四邊形。這個四邊形的名稱在英式英文與美式英文中有不同的稱呼,英式英文將之稱為Trapezium,而北美英文英语North American English則稱為trapezoid。
  • 等腰梯形:一對對邊平行、另外兩邊等長但不平行。等腰梯形是一種梯形,擁有更高的對稱性。
  • 三等邊梯形:一對對邊平行、另外兩邊和一底邊等長的梯形。
  • 平行四邊形:具有兩對平行邊的四邊形或兩對邊平行的四邊形。其等效條件是有兩對邊等長、兩對角等角,或者是對角線彼此平分。正方形、長方形、斜方形和菱形都是平行四邊形。
  • 菱形:是指四條邊都等長的四邊形。其等效條件是對角線互相垂直且平分。正方形和斜方形也是菱形的一種。
  • 斜方形:是一種相鄰邊不等長且角度也不是直角但兩對邊互相平行的四邊形,換句話說,就是平行四邊形中不是菱形的形狀[1]。其英語名稱為Rhomboid[2],容易與菱形(英语:Rhombus[3]混淆。
  • 矩形:四個角都是直角的四邊形。其等效條件是對角線互相平分且等長。正方形和長方形是矩形的一種
  • 長方形:四個角都是直角的四邊形,通常稱呼長方形是要與正方形有所區分[4],因此定義會變成相鄰邊不等長、四個角都是直角且兩對邊互相平行的四邊形。其等效條件是對角線互相平分且等長。
  • 正方形:所有邊等長且所有角等角的四邊形。由於其四個角都等角,又凸四邊形內角和為360度,因此其四個角都是直角。其等效條件是對邊平行且等長,對角線互相垂直平分且等長。若一四邊形同時是菱形和矩形,它就會是正方形(所有邊等長、所有角等角)。
  • 鷂形,相鄰邊等長的四邊形。其中一條對角線可以將之分割成兩個全等的三角形,因此在這對角線兩側的對角會相等,這也意味著其對角線平行。鷂形又稱鳶形或箏形。

Quadrilaterals.svg

非凸四邊形[编辑]

非凸四邊形是指不是凸四邊形的其他四邊形。

  • 凹四邊形:是指有至少一個角大於180度的四邊形。
  • 鏢形(或箭頭形、凹鷂形):相鄰邊等長的凹四邊形

扭歪四邊形[编辑]

扭歪四邊形,又稱不共面四邊形,是指頂點並非完全共面的四邊形

分類[编辑]

  • 根據對稱的特性
    • 一條對角線為對稱軸:鷂形
    • 對角線均為對稱軸:菱形
    • 一條對稱軸:等腰梯形,鹞形
    • 兩條對稱軸:矩形,菱形
    • 四條對稱軸:正方形
    • 旋轉對稱重合兩次:平行四邊形
    • 旋轉對稱重合四次:正方形
  • 根據四邊長度:
    • 兩對對邊長度相等:平行四邊形
    • 兩對鄰邊長度相等:鷂形
    • 四邊長度相等:菱形,正方形
  • 根據角度大小:
    • 兩對對角相等:平行四邊形
    • 兩對相鄰角相等:等腰梯形
    • 四角相等:矩形
    • 對角和等於:圓內接四邊形
  • 根據邊的情形:
    • 一對對邊平行:梯形
    • 兩對對邊平行:平行四邊形
    • 四邊可接圓形:圓外切四邊形
    • 两对边长度和相等:圆外切四边形
  • 根據頂點的情形:
    • 頂點都在一個圓上:圓內接四邊形

相關公式[编辑]

四邊形內角和為360°。

若凸四邊形的四邊長度分別是a、b、c、d,對角線長度為e、f,對角線相交的角度為θ,其面積為:

若對角線相交的角度為θ,四邊形的對邊的關係:

面積公式[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Archived copy (PDF). [June 20, 2013]. (原始内容 (PDF)存档于May 14, 2014). 
  2. ^ MathWorldRhomboid的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  3. ^ MathWorldRhombus的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  4. ^ The Rectangles: Additional Information: oblong cleavebooks.co.uk
  5. ^ Colebrooke, Henry-Thomas, Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara, John Murray: 58, 1817 .
  6. ^ Radic, Mirko; Kaliman, Zoran and Kadum, Vladimir, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", Mathematical Communications, 12 (2007) pp. 33–52.
  7. ^ Bogomolny, Alexander, "Inscriptible and Exscriptible Quadrilaterals", Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [1]. Accessed 2011-08-18.
  8. ^ G. Keady, P. Scales and S. Z. Németh, "Watt Linkages and Quadrilaterals", The Mathematical Gazette Vol. 88, No. 513 (Nov., 2004), pp. 475–492.
  9. ^ A. K. Jobbings, "Quadric Quadrilaterals", The Mathematical Gazette Vol. 81, No. 491 (Jul., 1997), pp. 220–224.
  10. ^ R. A. Beauregard, "Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides", College Mathematics Journal Vol. 40, No. 1 (Jan 2009), pp. 17-21.

外部連結[编辑]