图 (数据结构)

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一个有3个节点和3条有向图

计算机科学中,(英語:graph)是一种抽象数据类型,用于实现数学图论无向图有向图的概念。

图的数据结构包含一个有限(可能是可变的)的集合作为节点集合,以及一个无序对(对应无向图)或有序对(对应有向图)的集合作为(有向图中也称作)的集合。节点可以是图结构的一部分,也可以是用整数下标或引用表示的外部实体。

图的数据结构还可能包含和每条边相关联的数值(edge value),例如一个标号或一个数值(即权重,weight;表示花费、容量、长度等)。

操作[编辑]

图数据结构G支持的基本操作通常包括:[1]

  • adjacent(G, x, y):查看是否存在从节点xy的边;
  • neighbors(G, x):列出所有从x出发的边的另一个顶点y
  • add_vertex(G, x):如果不存在,将节点x添加进图;
  • remove_vertex(G, x):如果存在,从图中移除节点x
  • add_edge(G, x, y):如果不存在,添加一条从节点xy的边;
  • remove_edge(G, x, y):如果存在,从图中移除从节点xy的边;
  • get_vertex_value(G, x):返回节点x上的值;
  • set_vertex_value(G, x, v):将节点x上的值赋为v

如果该数据结构支持和边关联的数值,则通常也支持下列操作[1]

  • get_edge_value(G, x, y):返回边(x, y)上的值;
  • set_edge_value(G, x, y, v):将边(x, y)上的值赋为v

图的常见数据结构[编辑]

邻接表[2][3]
节点存储为记录对象,且为每个节点创建一个列表。这些列表可以按节点存储其余的信息;例如,若每条边也是一个对象,则将边存储到边起点的列表上,并将边的终点存储在边这个的对象本身。
邻接矩阵[4][5]
一个二维矩阵,其中行与列分别表示边的起点和终点。顶点上的值存储在外部。矩阵中可以存储边的值。
关联矩阵英语incidence matrix[6]
一个二维矩阵,行表示顶点,列表示边。矩阵中的数值用于标识顶点和边的关系(是起点、是终点、不在这条边上等)。

下表给出了在图上进行各种操作的复杂度。其中,用|V|表示节点数量,|E|表示边的数量。同时假设存储的信息是边上对应的值,如果没有对应值则存储∞。

邻接表 邻接矩阵 关联矩阵
空间复杂度 [7]
存储一张图
时间复杂度 [8]
添加节点
添加边
移除节点
移除边
检查节点xy是否邻接(假设已知两个节点对应的存储位置)
注释 移除节点或边速度较慢,因为需要找到相连的边或节点 增减节点速度较慢,因为需要修改矩阵的大小 增减节点或边速度较慢,因为需要修改矩阵的大小

邻接表在稀疏图英语sparse graph上比较有效率。邻接矩阵则常在图比较稠密的时候使用,判断标准一般为边的数量|E |接近于节点的数量的平方|V |2;邻接矩阵也在查找两节点邻接情况较为频繁时使用。[9][10]

其它表示和存储图的数据结构还包括链式前向星十字链表邻接多重表英语adjacency multilist等。

并行计算[编辑]

图问题的并行计算主要存在如下几种困难:处理大量的数据、求解非常规的问题、数据不分散、数据存取对计算的比例很高等。[11][12]面对这些困难,并行计算中图的表示和存储方式很重要。如果选取了不合适的表示方式,可能带来不必要的通讯花费,进而影响算法的可扩展性。在本节中,并行计算的共享分布式英语distributed memory存储模型都在考虑之列。

共享存储[编辑]

共享存储模型下,图的表示和非并行计算中的场景是相同的,[13],因为在此模型下,对图表示(如邻接表)的并行读取操作效率已经足够高了。

分布式存储[编辑]

分布式存储英语distributed memory模型下,通常会采用划分英语graph partition点集个集合的方式,其中是并行处理器的数量。随后,这些点集划分及相连的边按照标号分配给每个并行处理器。每个处理器存储原图的一个子图,而那些两个顶点分属两个子图的边则需额外特殊处理。在分布式图算法中,处理这样的边往往意味着处理器之间的通讯。[13]

图的划分需要谨慎地在降低通讯复杂度和使划分均匀之间取舍。[14]但图划分本身就是NP难问题。因此,实践中会使用启发式方法。

图的压缩存储[编辑]

机器学习社会网络分析等领域中,有时会处理数万亿条边的图。图的压缩存储可以减少存取和内存压力。霍夫曼编码等一些数据压缩的常见方法是可行的。同时,邻接表、邻接矩阵等也有专门的压缩存储方法以提高效率。[15]

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 参见Goodrich & Tamassia (2015), Section 13.1.2: Operations on graphs, p. 360。更多细节也可参见Mehlhorn, K.; Näher, S., Chapter 6: Graphs and their data structures, LEDA: A platform for combinatorial and geometric computing, Cambridge University Press: 240–282, 1999 .
  2. ^ Cormen et al. 2001,第528–529頁.
  3. ^ Goodrich & Tamassia 2015,第361-362頁.
  4. ^ Cormen et al. 2001,第529–530頁.
  5. ^ Goodrich & Tamassia 2015,第363頁.
  6. ^ Cormen et al. 2001,Exercise 22.1-7, p. 531.
  7. ^ Cormen et al. 2001,第589-591頁.
  8. ^ Goodrich & Tamassia 2015,§13.1.3.
  9. ^ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford, Section 22.1: Representations of graphs, Introduction to Algorithms Second, MIT Press and McGraw-Hill: 527–531, 2001, ISBN 0-262-03293-7 .
  10. ^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto, Section 13.1: Graph terminology and representations, Algorithm Design and Applications, Wiley: 355–364, 2015 .
  11. ^ Bader, David; Meyerhenke, Henning; Sanders, Peter; Wagner, Dorothea. Graph Partitioning and Graph Clustering. Contemporary Mathematics 588. American Mathematical Society. January 2013. ISBN 978-0-8218-9038-7. doi:10.1090/conm/588/11709 (英语). 
  12. ^ LUMSDAINE, ANDREW; GREGOR, DOUGLAS; HENDRICKSON, BRUCE; BERRY, JONATHAN. Challenges in Parallel Graph Processing. Parallel Processing Letters. March 2007, 17 (1): 5–20. ISSN 0129-6264. doi:10.1142/s0129626407002843. 
  13. ^ 13.0 13.1 Sanders, Peter; Mehlhorn, Kurt; Dietzfelbinger, Martin; Dementiev, Roman. Sequential and Parallel Algorithms and Data Structures: The Basic Toolbox. Springer International Publishing. 2019 [2021-08-14]. ISBN 978-3-030-25208-3. (原始内容存档于2021-08-17) (英语). 
  14. ^ Parallel Processing of Graphs (PDF). [2021-08-14]. (原始内容存档 (PDF)于2021-08-25). 
  15. ^ Besta, Maciej; Hoefler, Torsten. Survey and Taxonomy of Lossless Graph Compression and Space-Efficient Graph Representations. 27 April 2019. arXiv:1806.01799可免费查阅. 

外部链接[编辑]