圆锥曲线

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圆锥曲线

圆锥曲线英語conic section),又稱圓錐截痕圓錐截面二次曲线,是数学幾何學中通过平切圆锥(嚴格為一个正圆锥面和一个平面完整相切)得到的曲线,包括椭圆抛物线双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在約公元前200年時就已被命名和研究了,其發現者為古希臘數學家阿波羅尼阿斯,那时阿波羅尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为(椭圆,抛物线,双曲线的统一定义):动点到一定点(焦点)的距离与其到一定直线(准线)的距离之比为常数(离心率e)的点的集合是圆锥曲线。对于0 < e < 1得到椭圆,对于e = 1得到抛物线,对于e > 1得到双曲线。

圆锥曲线的类型[编辑]

圆锥曲线 方程 離心率e 半焦距c 半正焦弦 準線p
x^2+y^2=a^2 \,  0 \,  0 \,  a \,  \infty
橢圓 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \sqrt{a^2-b^2} \frac{b^2}{a} \frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}
拋物線 y^2=4ax \,  1 \,  a \,  2a \,  2a \,
雙曲線 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} \sqrt{a^2+b^2} \frac{b^2}{a} \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}
圆锥曲线的类型:1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线

椭圆:当平面只与圆锥面一侧相交,交截线是闭合曲线的时候,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。

抛物线:截面与圆锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。

双曲线:截面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候,有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

几何性质[编辑]

椭圆(Ellipse)[编辑]

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长(2a)。

抛物线(Parabola)[编辑]

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线(Hyperbola)[编辑]

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于实轴长(2a)。


离心率[编辑]

有固定焦点F和准线的椭圆 (e=1/2)抛物线 (e=1)双曲线 (e=2)

对于椭圆和双曲线,可以采用两种焦点-准线组合,每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是a/e \ ,这里的a \ 是椭圆的半长轴,或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是ae \

在圆的情况下,e = 0且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的a \ , e \ 越接近于1,半短轴就越小。

笛卡尔坐标[编辑]

笛卡尔坐标系内,二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲綫,并且所有圓錐曲綫都以這種方式引出。方程有如下形式

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\; 有着參數A\,B\,C\,不得皆等於0\,

  • 如果B^2-4AC<0\,,方程表示橢圓(除非圓錐曲綫退化了,例如x^2+y^2+10=0\,);
  • 如果A=C\,B=0\,D^2+E^2-4F>0\,,方程表示
  • 如果B^2-4AC=0\,,方程表示抛物綫
  • 如果B^2-4AC>0\,,方程表示雙曲綫
  • 如果还有A=-C\,,方程表示直角雙曲綫

注意这里的 A\,C\, 就是多项式系数,不是前面定义的半长/短轴的长度。

通过坐标变换这些方程可以变为标准形式:

椭圆 抛物线 双曲线
标准方程 {x^2} + {y^2}=a^2 \ {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2}=1 \ y^2=4ax\, {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2}=1 \
参数方程 a\cos\theta,a\sin\theta\, a\cos\theta,b\sin\theta\, a t^2,2 a t\, a\sec\theta,b\tan\theta\,
\pm a\cosh u,b \sinh u\,

极坐标[编辑]

椭圆的半正焦弦

圆锥曲线的半正焦弦(semi-latus rectum)通常指示为l,是从单一焦点或两个焦点中的一个,到圆锥曲线自身的,沿着垂直于主轴(长轴)的直线度量的距离。它有关于半长轴a,和半短轴b,通过公式al=b^2 \ l=a(1-e^2) \

极坐标系中,圆锥曲线有一个焦点在原点,如果有另一个焦点的话它在正x轴上,给出自方程

r = {l \over (1 + e \cos \theta) }

或者,

\frac{1}{r} = \frac{1}{l}(1 + e \cos \theta)

如上,对于e = 0得到一个圆,对于0 < e < 1得到椭圆,对于e = 1得到抛物线,对于e > 1得到双曲线。

齐次坐标[编辑]

齐次坐标下圆锥曲线可以表示为:

A_1x^2 + A_2y^2 + A_3z^2 + 2B_1xy + 2B_2xz + 2B_3yz = 0\;

或表示为矩阵

\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0

矩阵M=\begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix}叫做“圆锥曲线矩阵”。

 \Delta = det(M) = \begin{vmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{vmatrix} 叫做圆锥曲线的行列式。如果Δ = 0则这个圆锥曲线被称为退化的,这意味着圆锥曲线是两个直线的联合(两相交直线,两平行直线或两重合直线)或一点。。

例如,圆锥曲线\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0&0&0\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0 退化为两相交直线: \{ x^2 - y^2 = 0\} = \{(x+y)(x-y)=0\} = \{x+y=0\} \cup \{x-y=0\}

类似的,圆锥曲线有时退化为两重合直线(两直线重合成一条): \{x^2+2xy+y^2 = 0\} = \{(x+y)^2=0\}=\{x+y=0\} \cup \{x+y=0\} = \{x+y=0\}

 \delta = \begin{vmatrix}A_1 & B_1\\B_1 & A_2\end{vmatrix} 被称为圆锥曲线的判别式。如果δ = 0则圆锥曲线是抛物线,如果δ<0则是双曲线,如果δ>0则是椭圆。如果δ>0且A1 = A2,圆锥曲线是;如果δ<0且A1 = -A2,它是直角双曲线,。可以证明在复射影平面\mathbb{CP}^2中,两个圆锥曲线共有四个点(如果考虑重根),所以永不多于4个交点并总有1个交点(可能性:4个不同的交点,2个单一交点和1个双重交点,2个双重交点,1单一交点和1个三重交点,1个四重交点)。如果存在至少一个重根> 1的交点,则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点,两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的,每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点,则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次,每个圆锥曲线有两个点在无穷远(与无穷远线的交点)。如果这些点是实数的,圆锥曲线必定是双曲线;如果它们是虚共轭,圆锥曲线必定是椭圆,如果圆锥曲线有双重点在无穷远,则它是抛物线。如果在无穷远的点是 (1,i,0)和(1,-i,0),则圆锥曲线是。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远,或它有两个不共轭的虚数点,它不是抛物线不是椭圆不是双曲线。

外部链接[编辑]