均差

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均差(Divided differences)是遞歸除法過程。在数值分析中,也称差商Difference quotient英语Difference quotient),可用於計算牛頓多項式形式的多項式插值的係數。

定義[编辑]

給定n+1個數據點

定義前向均差為:

定義後向均差為:

表示法[编辑]

假定數據點給出為函數 ƒ,

其均差可以寫為:

對函數 ƒ 在節點 x0, ..., xn 上的均差還有其他表示法,如:

例子[编辑]

給定ν=0:

為了使涉及的遞歸過程更加清楚,以列表形式展示均差的計算過程[1]

性质[编辑]

展開形式[编辑]

數學歸納法可證明[2]

此公式體現了均差的對稱性質。[3]故可推知:任意调换數據點次序,其值不变。[4]

等價定義[编辑]

通過對換 n 阶均差中(x0,y0)与(xn-1,yn-1),可得到等價定義:

這個定義有著不同的計算次序:

以列表形式展示這個定義下均差的計算過程[5]

牛頓插值法[编辑]

自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五,此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

使用均差的牛顿插值法為:

可以在计算过程中任意增添节点如點(xn+1,yn+1),只需計算新增的n+1階均差及其插值基函數,而无拉格朗日插值法需重算全部插值基函数之虞。

對均差採用展開形式:

以2階均差牛頓插值為例:

前向差分[编辑]

當數據點呈等距分佈的時候,這個特殊情況叫做“前向差分”。它們比計算一般的均差要容易。

定義[编辑]

給定n+1個數據點

有著

定義前向差分為:

例子[编辑]

展開形式[编辑]

差分的展開形式是均差展開形式的特殊情況[6]

這裡的表達式

二項式係數,其中的(n)k是“下降階乘冪”,空乘積(n)0被定義為1。

插值公式[编辑]

其對應的牛頓插值公式為:

無窮級數[编辑]

牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了ln(1+x)的無窮級數,在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的無窮級數,在1669年的《分析學》中發表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的無窮級數;萊布尼茨在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研討了“有限差分”方法,其中論述了他在1712年得出的泰勒定理,這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出,而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差的步長取趨於0的極限,得出:

冪函數的均差[编辑]

使用普通函數記號表示冪运算,,有:

此中n+1元m次齊次多項式的記法同於多項式定理

泰勒形式[编辑]

泰勒級數和任何其他的函數級數,在原理上都可以用來逼近均差。將泰勒級數表示為:

均差的泰勒級數為:

項消失了,因為均差的階高於多項式的階。可以得出均差的泰勒級數本質上開始於:

依據均差中值定理,這也是均差的最簡單逼近。

皮亞諾形式[编辑]

均差還可以表達為

這裡的Bn-1是數據點x0,...,xn的n-1次B樣條,而f(n)是函數f的n階導數。這叫做均差的皮亞諾形式,而Bn-1是均差的皮亞諾核。

註釋與引用[编辑]

  1. ^
  2. ^
  3. ^ 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P200.
  4. ^ 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P201.
  5. ^
  6. ^

參見[编辑]