垛积术

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垛积术,也称隙积术,今高阶等差级数求和问题。由北宋沈括开创,南宋杨辉,元朝朱世杰多有贡献。

沈括隙积术[编辑]

北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇,首创隙积术:隙積者,謂積之有隙者,如累棋、層壇及灑家積罌之類。雖似覆鬥,四面皆殺,緣有刻缺及虛隙之處,用芻童法求之,常失於數少。餘思而得之,用爭童法為上位;下位別列:下廣以上廣減之,余者以高乘之,六而一,並入上位。假令積罌:最上行縱橫各二罌,最下行各十二罌,行行相次。先以上二行相次,率至十二,當十一行也。以芻童法求之,倍上行長得四,並入下長得十六,以上廣乘之,得之三十二;又倍下行長得二十四,並入上長,得二十六,以下廣乘之,得三百一十二;並二位得三百四十四,以高乘之,得三千七百八十四。重列下廣十二,以上廣減之,餘十,以高乘之,得一百一十,並入上位,得三千八百九十四;六而一,得六百四十九,此為罌數也。芻童求見實方之積,隙積求見合角不盡,益出羨積也

一个层罈,共h 层,上面axb,下底 c x d,

这是二阶等差级数求和问题:

沈括给出的公式 [1]

杨辉垛积术[编辑]

杨辉在《详解九章算法》《商功》篇阐述了方垛,刍甍垛,刍童垛,和三角垛。

方垛[编辑]

果子以垛,下方十四个,问计几何? 术曰:下方加一,乘下方为平积。又加半为高,以乘下方为高积。如三而一.

[2]

刍童垛[编辑]

即长方形立体垛,上面长n个,宽m个,高h个:

三角垛[编辑]

三角垛下广一面十二个,上尖,高十二个,问:计几何?

术曰:下广加一,乘下广。平积,下广加二乘之,立高方积,如六而一。

[3]

朱世杰垛积术[编辑]

三角垛[编辑]

四元玉鉴》 《果垛叠藏》第一问:

“今有三角垛果子一所,值钱一贯三百二十文,只云从上一个值钱二文,次下层层每个累贵一文,问底子每面几何?”

答曰:九个。

术曰:立天元一为每个底子,如积求之,得三万一千六百八十为益实十为从方,二十一为从上廉,一十四为下廉,三为从隅,三桀方开之,得每个底子,合问。

三角垛级数

三角垛自上而下,每边的果子数是:

1,2,3,4,5,6....n.

自上而下,每个果子值钱:

2,3,4,5,6.....(n+1}

三角果子垛价值V由下列级数表示

…………

这是一个已知级数和,倒求 n 的数学问题。

朱世杰用天元术,令天元一 为每底边的果子数 (x=n)

朱世杰用的求和公式:


[4]

解之,得

三角落一形垛[编辑]

+…… [5]

四角落一形垛[编辑]

+…… [6]

岚峰形垛[编辑]

……

三角岚峰形垛[编辑]

……

撒星更落一形垛[编辑]

……

三角撒星更落一形垛[编辑]

……

四角岚峰形垛[编辑]

……

参考文献[编辑]

  1. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第五卷 北宋 沈括 73页 ISBN 7-303-04926-6/O
  2. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第五卷 南宋 杨辉 592页
  3. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第五卷 南宋 杨辉 592页
  4. ^ 万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 (中) 卷下之一 六四六-六四八
  5. ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷3 294页 辽宁教育出版社. 1998
  6. ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷3 294页 辽宁教育出版社. 1998