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埃倫費斯特定理

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保罗·埃伦费斯特。

量子力學裏,埃倫費斯特定理Ehrenfest theorem)表明,量子算符期望值對於時間的導數,跟這量子算符與哈密頓算符對易算符,兩者之間的關係,以方程式表達為[1]

其中, 是某個量子算符 是它的期望值哈密頓算符 是時間,約化普朗克常數

埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裏,埃倫費斯特定理非常顯而易見;取海森堡方程式的期望值,就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學劉維定理密切相關;劉維定理使用的泊松括號,對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上,從根據經驗法則,將對易算符換為泊松括號乘以 ,再取 趨向於 0 的極限,含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。

導引[编辑]

假設,一個物理系統的量子態 ,則算符 的期望值對於時間的導數為

薛丁格方程表明哈密頓算符 與時間 的關係為

共軛複數

因為哈密頓算符是厄米算符 。所以,

將這三個方程式代入 的方程式,則可得到

所以,埃倫費斯特定理成立:

實例[编辑]

使用埃倫費斯特定理,可以簡易地證明,假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間,則這系統是保守系統

從埃倫費斯特定理,可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言,速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料,就可以分析量子系統的運動行為。

保守的哈密頓量[编辑]

思考哈密頓算符

假若,哈密頓量顯性地不含時間, ,則

哈密頓量是個常數

位置的期望值對於時間的導數[编辑]

試想一個質量 的粒子,移動於一維空間.其哈密頓量

 ;

其中, 為位置,動量位勢

應用埃倫費斯特定理,

由於 ,位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值:

這樣,可以得到動量 的期望值。

動量的期望值對於時間的導數[编辑]

應用埃倫費斯特定理,

由於 與自己互相交換,所以, 。又在坐標空間裏,動量算符 不含時間: 。所以,

將泊松括號展開,

使用乘法定則

在量子力學裏,動量的期望值對於時間的導數,等於作用力 的期望值。

經典極限[编辑]

取經典極限[2] ,則可得到一組完全的量子運動方程式:

這組量子運動方程式,精確地對應於經典力學的運動方程式:

取「經典極限」,量子力學定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這經典極限是什麼呢?標記 。設定 泰勒展開

由於

這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的,就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關:

  1. 一個是量子態對於位置的不可確定性。
  2. 另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。

參考文獻[编辑]

  1. ^ Smith, Henrik. Introduction to Quantum Mechanics. World Scientific Pub Co Inc. 1991: pp. 108–109. ISBN 978-9810204754. 
  2. ^ Tannor, David J. Introduction to Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective. University Science Books. 2006: pp. 35–38. ISBN 978-1891389238.