埃倫費斯特定理

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
保罗·埃伦费斯特。

量子力學裏,埃倫費斯特定理Ehrenfest theorem)表明,量子算符期望值對於時間的導數,跟這量子算符與哈密頓算符對易算符,兩者之間的關係,以方程式表達為[1]

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,\ H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle

其中,A 是某個量子算符\langle A\rangle 是它的期望值H哈密頓算符t 是時間,\hbar約化普朗克常數

埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裏,埃倫費斯特定理非常顯而易見;取海森堡方程式的期望值,就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學劉維定理密切相關;劉維定理使用的泊松括號,對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上,從根據經驗法則,將對易算符換為泊松括號乘以 i\hbar ,再取 i\hbar 趨向於 0 的極限,含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。

導引[编辑]

假設,一個物理系統的量子態\Phi(x,\ t) ,則算符 A 的期望值對於時間的導數為

\begin{align} \frac{d}{dt}\langle A\rangle & = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi~dx \\
  & = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx+ \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi~dx+\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx \\
  & = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx \\  \end{align}

薛丁格方程表明哈密頓算符 H 與時間 t 的關係為

H\Phi= i\hbar \frac{\partial \Phi}{\partial t}

共軛複數

(H\Phi)^*= - i\hbar \frac{\partial \Phi^*}{\partial t}

因為哈密頓算符是厄米算符H^*=H 。所以,

(H\Phi)^*=\Phi^*H^*=\Phi^*H

將這三個方程式代入 \frac{d}{dt}\langle A\rangle 的方程式,則可得到

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle

所以,埃倫費斯特定理成立:

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle

實例[编辑]

使用埃倫費斯特定理,可以簡易地證明,假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間,則這系統是保守系統

從埃倫費斯特定理,可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言,速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料,就可以分析量子系統的運動行為。

保守的哈密頓量[编辑]

思考哈密頓算符 H

\frac{d}{dt}\langle H\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [H,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial H}{\partial t}\right\rangle=\left\langle \frac{\partial H}{\partial t}\right\rangle

假若,哈密頓量顯性地不含時間,\frac{\partial H}{\partial t}=0 ,則

\langle H\rangle=H_0

哈密頓量是個常數H_0

位置的期望值對於時間的導數[编辑]

試想一個質量m 的粒子,移動於一維空間.其哈密頓量

 H(x,\ p,\ t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,\ t)  ;

其中,x 為位置,p動量V位勢

應用埃倫費斯特定理,

\frac{d}{dt}\langle x\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial x}{\partial t}\right\rangle= \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\ H]\rangle =\frac{1}{i2m\hbar}\langle [x,\ p^2]\rangle =\frac{1}{i2m\hbar}\langle xpp - ppx\rangle

由於 xpp - ppx=i2\hbar p ,位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值:

\frac{d}{dt}\langle x\rangle =\frac{1}{m} \langle p\rangle= \langle v\rangle

這樣,可以得到動量 p 的期望值。

動量的期望值對於時間的導數[编辑]

應用埃倫費斯特定理,

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle

由於 p 與自己互相交換,所以,[p,\ p^2]=0 。又在坐標空間裏,動量算符 p = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} 不含時間: \frac{\partial p}{\partial t} = 0 。所以,

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,\ V]\rangle

將泊松括號展開,

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V\frac{\partial}{\partial x}\Phi~dx - \int \Phi^*\frac{\partial}{\partial x} \left(V\Phi\right)~dx

使用乘法定則

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \left\langle -\ \frac{\partial}{\partial x} V\right\rangle = \langle F\rangle

在量子力學裏,動量的期望值對於時間的導數,等於作用力 F 的期望值。

經典極限[编辑]

取經典極限[2]\left\langle \frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle\approx \frac{\partial V(\langle x\rangle)}{\partial \langle x\rangle} ,則可得到一組完全的量子運動方程式:

\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\langle v\rangle
 \frac{d}{dt}\langle p\rangle= -\ \frac{\partial V(\langle x\rangle)}{\partial \langle x\rangle}

這組量子運動方程式,精確地對應於經典力學的運動方程式:

\frac{dx}{dt}=v
 \frac{dp}{dt}= -\ \frac{\partial V(x)}{\partial x}

取「經典極限」,量子力學定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這經典極限是什麼呢?標記 V\,'(x)\frac{\partial V(x)}{\partial x} 。設定 \langle x\rangle=x_0泰勒展開 V\,'(x)x_0

V\,'(x)=V\,'(x_0)+(x-x_0)V\,''(x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^2 V\,'''(x_0)+\ \dots

由於 \langle x-x_0\rangle=0\langle x-x_0\rangle^2=\sigma_x^2

\left\langle\frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle\approx V\,'(x_0)+\frac{1}{2}\ \sigma_x^2\ V\,''(x_0)

這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的,就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關:

  1. 一個是量子態對於位置的不可確定性。
  2. 另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。

參考文獻[编辑]

  1. ^ Smith, Henrik. Introduction to Quantum Mechanics. World Scientific Pub Co Inc. 1991: pp. 108–109. ISBN 978-9810204754. 
  2. ^ Tannor, David J. Introduction to Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective. University Science Books. 2006: pp. 35–38. ISBN 978-1891389238.