埃尔米特矩阵

埃尔米特矩阵（英語：Hermitian matrix，又译作厄米特矩阵，厄米矩阵），也稱自伴隨矩陣，是共轭對稱的方陣。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的复共轭。例如${\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}$就是一个埃尔米特矩阵。

显然，埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数，其特征值也是实数。对于实矩阵，如果它是对称矩阵，则它也满足埃尔米特矩阵的定义，即，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。

定义

对于矩阵$A\in C^{n\times n}$，若对A中任意元素$a_{i,j}$和$a_{j,i}$有：

$a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}$

其中${\overline {(\cdot )}}$为共轭算子，则记作$A=A^{H}$，其中${(\cdot )}^{H}$为共轭转置，称 $A$ 为埃尔米特矩阵。

性质

• 若 $A$ 和 $B$ 是埃尔米特矩阵，那么它们的和 $A+B$ 也是埃尔米特矩阵；而只有在 $A$ 和 $B$ 满足交换性（即$AB=BA$）时，它们的积才是埃尔米特矩阵。
• 可逆的埃尔米特矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 仍然是埃尔米特矩阵。
• 如果 $A$ 是埃尔米特矩阵，对于正整数 $n$，$A^{n}$ 是埃尔米特矩阵。
• 方阵 $C$ 与其共轭转置的和$C+(C^{*})$是埃尔米特矩阵，
• 方阵 $C$ 与其共轭转置的差$C-C^{*}$是斜埃尔米特矩阵。
• 任意方阵 $C$ 都可以用一个埃尔米特矩阵 $A$ 与一个斜埃尔米特矩阵 $B$ 的和表示：

$C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{*})\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{*})$。

• 埃尔米特矩阵是正规矩阵，因此埃尔米特矩阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cⁿ的正交基。
• n-阶埃尔米特矩阵的元素构成维数为 $n^{2}$ 的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。
• 如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定矩阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定矩阵。

埃尔米特序列

埃尔米特序列（亦或埃尔米特向量）指满足下列条件的序列 $a_{k}$（其中 $k=0,1,...,n$）：

$\Im (a_{0})=0\quad {\mbox{and}}\quad a_{k}={\overline {a_{n-k}}}\quad {\mbox{for }}k=1,2,\dots ,n$。

若 $n$ 是偶数，则 $a_{\frac {n}{2}}$是实数。

实数序列的离散傅里叶变换是埃尔米特序列。反之，一个埃尔米特序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

参见

• 共轭转置
• 正规矩阵
• 辛矩阵
• 酉群
• 酉算子
• 矩阵分解