埃尔米特矩阵

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

埃尔米特矩阵(又译作厄米矩阵,Hermitian matrix)(又稱「自共軛矩陣」)是共轭對稱方陣。埃尔米特矩阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。

对于

A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n}

有:

a_{i,j} = \overline{a_{j,i}},其中\overline{(\cdot)}共轭算子

记做:

 A = A^H \quad

例如:

\begin{bmatrix}
3&2+i\\
2-i&1
\end{bmatrix}

就是一个埃尔米特矩阵。

显然,埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的,其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵(实矩阵),如果它是对称阵,即所有元素关于主对角线对称,那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说,实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。

性质[编辑]

  • AB 是埃尔米特矩阵,那么它们的和A+B 也是埃尔米特矩阵;而只有在AB满足交换性(即AB = BA)时,它们的积才是埃尔米特矩阵。
  • 可逆的埃尔米特矩阵A逆矩阵A-1仍然是埃尔米特矩阵。
  • 如果A是埃尔米特矩阵,对于正整数nAn是埃尔米特矩阵。
  • 方阵C 与其共轭转置的和C + (C^*)是埃尔米特矩阵,
  • 方阵C 与其共轭转置的差C - C^*斜埃尔米特矩阵
  • 任意方阵C 都可以用一个埃尔米特矩阵A 与一个斜埃尔米特矩阵B的和表示:
C = A+B \quad\mbox{with}\quad A = \frac{1}{2}(C + C^*) \quad\mbox{and}\quad B = \frac{1}{2}(C - C^*).
  • 埃尔米特矩阵是正规矩阵,因此埃尔米特矩阵可被对角化,而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的,而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交,因此可以在这些特征向量中找出一组Cn正交基
  • n-阶埃尔米特矩阵的元素构成维数n2实向量空间,因为主对角线上的元素有一个自由度,而主对角线之上的元素有两个自由度。
  • 如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数,那么这个矩阵是正定矩阵,若它们是非负的,则这个矩阵是半正定矩阵

埃尔米特序列[编辑]

埃尔米特序列(亦或埃尔米特向量)指满足下列条件的序列ak(其中k = 0, 1, …, n):

 \Im(a_0) = 0 \quad \mbox{and} \quad a_k = \overline{a_{n-k}} \quad \mbox{for } k=1,2,\dots,n.

n偶数,则an/2实数

实数序列的离散傅里叶变换是埃尔米特序列。反之,一个埃尔米特序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

参见[编辑]