域扩张

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域扩张field extensions)是数学分支抽象代数域论中的主要研究对象,基本想法是从一个基开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为环扩张

定义[编辑]

KL是两个。如果存在从KL域同态ι,则称(L,ι)是K的一个域扩张,记作L/KKLKL[1]:9K称为域扩张的基域L称为K扩域[2]:2。如果某个域F既是K的扩域,又是L的子域,则称域扩张F/K是域扩张L/K子扩张,称F(域扩张L/K的)中间域

域扩张的记法L/K只是形式上的标记,不表示存在任何商环商群等代数结构。有些文献中也会将域扩张记为L:K

另外,因为ι是域同态,所以ι单射[3]。由于K是域,所以ι(K)是一个L的同构于K子域。很多时候也直接省略ι,直接将K视为L的一个子域[1]:9。为了记叙方便,下文中将依情况使用这种省略方式[N 1]

设有域扩张L/K,给定一个由L中不属于ι(K)的元素组成的集合S,考虑L中所有同时包含ι(K)和S的子域,其中有一个“最小的”[N 2],称为“在K中添加(集合)S生成的扩域”,记作K(S)。它是所有同时包含ι(K)和S的域的子域[2]:4-5。如果集合S只有一个元素a,则称域扩张K(S)/K单扩张,对应的扩域一般简记作K(a)。a称为这个域扩张的本原元

每个域扩张中,扩域可以看作是以基域为系数域的向量空间。设有域扩张L/K,将L中元素看作向量,K中元素看作系数,可以定义L中的域加法运算作为向量的加法运算,同时可以定义K中元素作为系数与L中元素的数乘运算。可以验证,在这样定义下,L是一个K-向量空间[1]:9[2]:2。它的维数称为域扩张的次数度数,一般记作[L:K][1]:9[2]:2。次数为1的扩张,扩域和基域同构,称为平凡扩张。次数有限的域扩张称为有限扩张,否则称为无限扩张[1]:9[2]:2

例子[编辑]

复数\mathbb C实数\mathbb R的扩域,而\mathbb R则是有理数\mathbb Q的扩域。这样,显然\mathbb{C} \big/ \mathbb R也是一个域扩张。实数到复数的域扩张次数:[\mathbb C : \mathbb{R}] = 2。因为\mathbb C可以看作是以\{1, i\}的实向量空间。故扩张\mathbb{C} \big/ \mathbb R是有限扩张[1]:10\mathbb{C} = \mathbb R (i),所以这个扩张是单扩张。

集合\mathbb Q (\sqrt{2}) = \{ a+ b\sqrt{2} ; \; a, b, \in \mathbb{Q} \}是在\mathbb Q中添加\sqrt{2}生成的扩域,显然也是一个单扩张。它的次数是2,因为因为\{ 1, \sqrt{2}\}可作为一个基。\mathbb Q的有限扩张也称为代数数域,在代数数论有重要地位[2]:2

有理数的另一个扩张域是关于一个素数pp进数\mathbb{Q}_p。它与\mathbb R类似,是有理数域完备化得到的数域。但由于使用的拓扑不同,所以与\mathbb R有着截然不同的性质。

对任何的素数p和正整数n,都存在一个元素个数为pn有限域,记作GF(pn)。它是有限域GF(p)(即\mathbb{Z} \big/ p\mathbb{Z})的扩域。

给定域K和以K中元素为系数的K-不可约多项式P[N 3]PK上的多项式环K[X]的元素。P生成的理想极大理想,因此K[X]/P是域,而且是K的扩域。其中不定元X是多项式P的根。

给定域K,考虑所有以K中元素为系数的有理函数,即可以表示为两个以K中元素为系数的多项式PQ之比:P/Q的函数。它们构成一个域,记作K(X),是多项式环K[X]的分式域。它是域K的扩域,次数为无限大[1]:10

基本性质[编辑]

设有域扩张L/K,则扩域LK有相同的加法和乘法单位元。加法群 (K, +) 是 (L,+) 的一个子群,乘法群 (K×, ·) 是 (L×, ·) 的一个子群。因此,LK有相同的特征

设有域扩张L/K及某个中间域F,则域扩张F/KL/F的次数乘积等于L/K的次数[1]:10[2]:9

[L : K] = [L:F] \cdot [F:K].

代数元与超越元[编辑]

给定域扩张L/K,如果L中一个元素a是某个以K中元素为系数的(非零)多项式(以下简称为K-多项式)的,则称aK上的一个代数元,否则称其为超越元[1]:10。如果L中每个元素都是K上的代数元,就称域扩张L/K代数扩张,否则称其为超越扩张[1]:11。例如\sqrt{2}i都是\mathbb Q上的代数元,而eπ都是\mathbb Q上的超越元[1]:11\mathbb Q上的代数元和超越元分别叫做代数数超越数

每个有限扩张都是代数扩张,反之则不然[2]:10-11。超越扩张必然是无限扩张。给定域扩张L/K,如果L中元素要么属于K,要么是K上的超越元,则称LK的纯超越扩张。一个单扩张如果由添加代数元生成则是有限扩张,如果由添加超越元生成则是纯超越扩张。

极小多项式[编辑]

给定域扩张L/K,如果L中一个元素aK上的代数元,那么在所有使得f(a) = 0的首一K-多项式f中,存在一个次数最小的,称为aK上的极小多项式,记为πa[1]:11-12。设πan次多项式,则中间域K(a)等于所有以a为不定元的K-多项式的集合。更具体地说,等于所有以a为不定元的、次数严格小于nK-多项式的集合:K(a) = K[a] = Kn-1[a]。这说明K(a)中任何元素b都可以写成b = \lambda_1 + \lambda_2 a + \cdots + \lambda_n a^{n-1}的形式。其中(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)nK中元素。由于πa是极小多项式,所以可推出:\{1, a, \cdots , a^{n-1} \}是中间域K(a)作为K-向量空间的基。扩张K(a)/K的次数是[K(a) : K] = n.

分裂域与代数闭包[编辑]

分裂域是将某个多项式的根全部添加到其系数域中生成的域扩张,将多项式转化为域扩张进行研究。给定域扩张L/K,称一个K-多项式fL分裂,如果f可以写成:

f = \kappa (X - \alpha_1)(X - \alpha_2)\cdots (X - \alpha_k), \; \kappa \in K, \; \alpha_1, \alpha_2 ,\cdots , \alpha_k \in L

的形式,即f的每个根都是L中的元素[2]:27-28。如果fL中分裂,但不在L的任何一个包含K的真子域中分裂(也就是说L是令f在其中分裂的“最小”的域扩张),就称LfK上的分裂域[2]:28

给定域K,如果所有K-多项式在K分裂,则称K代数闭域[2]:30。给定代数扩张L/K,如果L是代数闭域,则称其为K代数闭包,一般记作Kalg[2]:31。给定K,则它所有的代数闭包都是K-同构[N 4][2]:35

域扩张的自同构群[编辑]

除了将扩域看作基域上的向量空间外,另一个研究域扩张的角度是考察域扩张的自同构群。给定域扩张L/KL上的一个自同构σ被称为K-自同构,当且仅当σ限制在K上的部分是平凡的(即为恒等映射[2]:15-16

\forall x \in K, \; \sigma(x) = x.

所有的K-自同构组成一个群,称为域扩张的自同构群,记作Aut(L/K)。这些自同构描绘了K“以外”的元素可以怎样相互变换而保持域L的域结构不变[2]:15-16

正规、可分与伽罗瓦扩张[编辑]

伽罗瓦扩张是伽罗瓦理论中的基础概念。有限的伽罗瓦扩张满足伽罗瓦理论基本定理,在此扩张的伽罗瓦群子群与其中间域之间建立了一一对应的关系,从而给出了中间域的清晰描述。

一般定义伽罗瓦扩张是正规可分的域扩张[2]:42。一个域扩张L/K称为正规扩张,如果对任何一个以K中元素为系数的不可约多项式P,只要它有一个根在L中,则它的所有根都在L中,也就是说可以分解为L上一次因式的乘积[2]:36。正规扩张也叫做准伽罗瓦扩张,它与伽罗瓦扩张的差别是伽罗瓦扩张还是可分扩张。一个代数扩张L/K称为可分扩张,如果L中每个元素在K上的极小多项式是可分的,即(在 K的一个代数闭包中)没有重根[2]:42。从以上正规扩张和可分扩张的定义中可以推出:一个域扩张L/K是伽罗瓦扩张,当且仅当它是某个以K中元素为系数的可分多项式的分裂域[2]:42

伽罗瓦扩张的自同构群称为其伽罗瓦群,记作Gal(L/K)。它的阶数(群中元素个数)等于伽罗瓦扩张的次数:[L:K]= | Gal(L/K) |伽罗瓦理论基本定理说明,当伽罗瓦扩张是有限扩张的时候,给定Gal(L/K)的任一个子群H,唯一存在一个中间域KLHL与之对应,这个域LH恰好是L中对所有的H中的自同构固定的元素的集合[2]:51

L^H = \{ x ; \; \forall \sigma \in H, \; \sigma(x) = x\}

这种对应关系被称作伽罗瓦对应。给定Gal(L/K)的子群HLH被称为H对应域。伽罗瓦对应建立了特定条件下域扩张与群论之间转化的纽带,通过研究特定群的结构,可以给出域扩张的仔细刻画。

相关条目[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ 即,在不需要强调ι的时候,可以默认基域K是扩域L的子域。
  2. ^ 称某个代数结构是“最小”的,是指它是所有满足条件的代数结构的子集。如果承认佐恩引理,则这样的“最小”者一定存在:它是所有满足条件的代数结构的交集。下文同。
  3. ^ 这里的“多项式”指单变量多项式,下文同。
  4. ^ 即两者间存在环同构φ,并且它限制在K上的部分是平凡的(恒等映射)。

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 Antoine Chambert-Loir. A Field Guide to Algebra. Springer(插图版). 2005. ISBN 9780387214283 (英文). 
  2. ^ 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 Patrick Morandi. Fields and Galois Theory. Springer(插图版). 1996. ISBN 9780387947532 (英文). 
  3. ^ Francis Borceux, George Janelidze. Galois Theories. Cambridge University Press(插图版, 再版). 2001: Preface: x. ISBN 9780521803090 (英文).