基数 (数学)

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圓周率  = 3.141592653…
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虛數單位  = 
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在日常交流中,基數量數是對應量詞的「」,例如在以下句子中的「一」及「四」:「有一個橙,有四個柑」。序數是對應排列的「數」,例如在以下句子中的「(第)一」及「(第)二」:「這人一不會打字,二不懂速記,所以不可以做秘書」;「第二個人正在進來」。

數學上,基數,即集合中包含的元素的「个数」(背景知識:势的比较),是日常交流中基數的概念在數學上的精確化(並使之不再受限於有限情形)。有限集合的基數,其意義與日常用語中的「基數」相同(見上段),例如{a, b, c}的基數是3。無限集合的基數,其意義在於比較兩個集的大小,例如整數集和有理數集的基數相同,是因它們是一樣大;整數集的基數比實數集的小;是因後者是比較大的集合。

歷史[编辑]

Aleph-0,最大的有限基數

康托尔在1874年-1884年引入最原始的集合論(現稱樸素集合論)時,首次引入基數概念。 他最先考慮的是集合{1,2,3}和{2,3,4},它們並非相同,但有相同的基數。驟眼看來,這是顯而易見,但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素?

康托爾的答案,是透過所謂的一一對應,即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到,兩個集合的基數自然相同。這答案,容易理解但卻是革命性的,因為用相同的方法即可比較任意集合的大小,包括無窮集合。

最先被考慮的無窮集合是自然數N = {1, 2, 3, ...}及其無限子集。他把所有與N能一一對應的集為可數集。令康托爾意外的是,原來N的所有無限子集都能與N一一對應。他把N的基數稱為,是最小的艾禮富數

康托爾發現,原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是乎在1874年初,他嘗試證明是否所有無限集合均是可數,其後他得出了實數集不可數的結論。原先的證明用到了涉及區間套的複雜論證,而在他1891年的論文中,他以簡單而巧妙的對角論證法重新證明了這一結果。實數集的基數,記作c,代表連續統

接着康托爾構作一個比一個大的集合,得出一個比一個大的基數,而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論,需要一個新的語言描述,這就是康托爾發明集合論的主因。

康托爾隨後提出連續統假設c就是第二個超窮基數,即継之後最小的基數。現已知這假設是不能證明的,即接受或否定它會得出兩套不同但邏輯上可行的公理化集合论

动机[编辑]

在非正式使用中,基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于0的自然数(就是0, 1, 2, ...)。计数可以形式化地定义为有限基数,而无限基数只出现在高等数学和逻辑中。

更正式地,一個非零的数可以用于两个目的:描述一个集合的大小,或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列,可以轻易的看出着两个概念是相符的,因为对于所有描述在序列中的一个位置的数,我们可以构造一个有正好大小的集合,比如3描述了c在序列<a,b,c,d,...>中的位置,并且我们可以构造有三个元素的集合{a,b,c}。但是在处理无限集合的时候,在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置的方面會引申出序数的概念,而大小則被这里描述的基数所廣義化。

在基数的形式定义背后的直觀想法是,可以构造一个記號來指明集合的相对大小,而不需理會它有哪些種類的成员。对于有限集合这是容易的;只需简单的數算一个集合的成员数目。为了比较更大集合的大小,得借助更加巧妙的概念。

一个集合Y至少等大小于(或稱大于等于)一个集合X,如果有从XY的一个单射(一一映射)。一一映射对集合X的每个元素确定了一个唯一的集合Y的元素。通过例子就最易理解了;假设有集合X = {1,2,3}和Y = {a,b,c,d},我们可以注意到有一个映射

1 → a
2 → b
3 → c

这是一对一的,使用上述的大小概念,我們因此總結出Y有大于等于X的势。注意元素d没有元素映射到它,但这是允许的,因为我们只要求一一映射,而不必须是一对一并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。

我们可以把这个概念扩展到一个類似於等式的关系。两个集合XY被称为有相同的,如果存在XY之间的双射。通过Schroeder-Bernstein定理,这等价于有从XY和从YX的两个一一映射。我们接着記之为 | X | = | Y |。X的基数自身经常被定义为有着 | a | = | X | 的最小序数a。这叫做冯·诺伊曼基数指派;为使这个定义有意义,必须证明所有集合都有同某个序数一样的势;这个陈述就是良序原理。然而即使不給集合的勢指派一個名字,討論集合之間相對的勢還是可以的。

一個经典例子是无限旅馆悖论,也叫做希尔伯特旅馆悖论。假设你是有无限个房间的旅馆主人。旅馆客满,而又来了一个新客人。可以让在房间1的客人转移到房间2,房间2的客人转移到房间3,以此类推,腾空房间1的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段:

1 ↔ 2
2 ↔ 3
3 ↔ 4
...
n ↔ n+1
...

在这种方式下我们可以看出集合{1,2,3,...}和集合{2,3,4,...}有相同的势,因为已知这两个集合之间存在双射。这便給"无限集合"提供了一個合適的定義,即是與自身某個真子集有著相同的勢的任何集合;在上面的例子中{2,3,4,...}是{1,2,3,...}的真子集。

当我们考虑这些大对象的时候,我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。事實上是不一致的;通过考虑上面的例子,我们可以看到如果有“比无限大一”的某个对象存在,它必须跟起初的无限集合有一样的势。這時候可以使用另一種稱為序数的形式概念,它是建基于计数并依次考虑每个数的想法上。而我们會发现,势和序(ordinality)的概念对于无限的情況是有分歧的。

可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势。透過对角论证法可以一目瞭然;跟势相關的经典问题(比如连续统假设)主要关注在某一对无限基数之间是否有別的基数。現時数学家已经在描述更大更大基数的性质。

因为基数是数学中如此常用的概念,有各种各样的名字指涉它。势相同有时也叫做等势、均势或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。

定義[编辑]

首先,給出集合XY,我們稱X的勢小於等於Y,記作 | X | ≤ | Y |,當且僅當存在由XY單射;稱X的勢與Y相等,記作 | X | = | Y |, 當且僅當存在由XY雙射(即一一對應)。

Cantor-Bernstein-Schroeder定理指出如果 | X | ≤ | Y | 及 | Y | ≤ | X | 則 | X | = | Y |。

假設選擇公理,所有集合都可良序,且對於所有集合XY,有 | X | ≤ | Y | 或 | Y | ≤ | X |。因此,我們可以定義序數,而 集合X基數則是與X等勢的最小序數α。

(若不接受選擇公理,我們也可對非良序集X定義基數,就是所有與X等勢的集的中最小者。)

有限集的基数[编辑]

自然數的一種定義是0={ },1={0},2={0,1},3={0,1,2},…,N={0,1,…,N-1}。可以見到,與數N等勢的集必有N個元素。如集合{2, 3, 5}的基数为3。

以下是有限集的三個等價定義:它與某自然數等勢;它只有一個等勢的序數,就是它的基數;它沒有等勢的真子集。

无限集的基数[编辑]

最小的無限集合是自然數集。{1, 2, 3, 4,…, n, …}与{2, 4, 6, 8, …, 2n, …}基数相同,因为可以让前一集合的n与后一集合的2n一一对应。从这个例子可以看出,对于一个无穷集合来说,它可以和它的一个真子集有相同的基数。

以下是无限集的四個等價定義:它不與任何自然數等勢;它有超過一個等勢的序數;它有至少一个真子集和它等勢;存在由自然數集到它的單射。

基數算術[编辑]

我們可在基數上定義若干算術運算,這是對自然數運算的推廣。

給出集合XY,定義 X + Y = {(x,0): xX} ∪ {(y,1): yY},則基數和是

|X| + |Y| = |X + Y|。

XY不相交,則 |X| + |Y| = |XY|。

基數積是

|X| |Y| = |X × Y|

其中X × YXY笛卡儿积

基數指數是

|X||Y| = |XY|

其中XY是所有由YX函數的集合。

在有限集時,這些運算與自然數無異。一般地,它們亦有普通算術運算的性質:

  • 加法和乘法是可交換的,即 |X|+|Y|=|Y|+|X| 及 |X||Y|=|Y||X|
  • 加法和乘法符合結合律,(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|)及 (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)
  • 分配律,即 (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|。
  • |X||Y| + |Z| = |X||Y| |X||Z|
  • |X||Y| |Z| = (|X||Y|)|Z|
  • (|X||Y|)|Z| = |X||Z| |Y||Z|

無窮集合的加法及乘法(假設選擇公理)非常簡單。若XY皆非空而其中之一為無限集,則

|X| + |Y| = |X||Y| = max{|X|, |Y|}

注意2X |X幂集之基數。由对角论证法可知2X | > | X |,是以並不存在最大的基數。事实上,基数的真类

還有些關於指數的有趣性質:

  • |X|0 = 1(很奇怪地00 = 1)。
  • 0|Y| = 0,若Y非空。
  • 1|Y| = 1。
  • 若|X| ≤ |Y|,則 |X||Z| ≤ |Y||Z|
  • 若 |X| 和 |Y| 俱有限且大於1,而Z是無窮集,則 |X||Z| = |Y||Z|
  • X是無窮而Y是有限及非空,則 |X||Y| = |X|。

基數序列及連續統假設[编辑]

對每一個基數,存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是,康托尔稱下一個為,相类似的,还定义了如下一个序列

注意。连续统假设猜想,就是

連續統假設是與一般集論公理(即Zermelo-Fraenkel公理系統加上選擇公理)是獨立的。

更一般的假設,即

广义连续统假设,就是對所有無窮基數,都不存在介乎之間的基數。

參考文獻[编辑]

  • Hahn, Hans, Infinity, Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1956.
  • Halmos, Paul, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).

外部链接[编辑]