塔斯基分割圓問題

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1925年,阿爾弗雷德·塔斯基提出一個問題:將平面上的一個分割成有限多塊,然後重新拼合成面積相同的正方形

1990年米可斯·拉茲柯維奇證明這是可行的。但他的分割方法大量使用了選擇公理(axiom of choice),故並不明確。他將圓分割成約1050塊。

拉茲柯維奇還證明了更多:該重新拼合的過程中只須移動即可;旋轉並非必要。他隨之而證明任何平面上的單純多邊形均可分割成有限多片,只須移動來重新拼合一個面積相同的正方形。華勒斯·波埃伊·格維也納定理是相關但簡單得多的結果——若可以在重新拼合過程中移動和旋轉,一個多邊形割為有限多的多邊形塊後,可重新拼合成另一個面積相同的多邊形。

這些結果可以和在三維上的巴拿赫-塔斯基悖论(Hausdorff-Banach-Tarski paradox)相比;這些分割甚至改變集的體積,而平面上的問題則不能做到。

它跟化圓為方問題是不同的:使用尺規作圖的方法令圓形的面積變成正方形的面積,這是不可能的。塔斯基的問題使用了(不可證的)選擇公理來分割圓令成為一塊塊數目多至不可量度子集的片,所以它不能用實質工具這種只能畫出可量度集的物件顯示出來。

參考[编辑]

  • Miklos Laczkovich: "Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem", Crelle's Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 (1990) pp. 77-117
  • Miklos Laczkovich: "Paradoxical decompositions: a survey of recent results." First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), pp. 159-184, Progr. Math., 120, Birkhäuser, Basel, 1994.