塞邁雷迪定理

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算術組合學英语arithmetic combinatorics中,塞邁雷迪定理是個關於自然數集子集中的等差数列的結論。1936年,艾狄胥圖蘭·帕爾英语Pál Turán猜想[1]:若整數集 A 具有正的自然密度,則對任意的正整數 k, 都可以在 A 中找出一個 k 項的等差數列。塞迈雷迪·安德烈於 1975 年證明了此結論。

定理敍述[编辑]

自然数集的子集 A 滿足

則稱 A 具有正的上密度。塞邁雷迪定理斷言,若自然數集的一個子集具有正的上密度,則對任意的正整數 k, 該子集都包含無窮多個長為 k 的(公差不為 0) 的等差數列。

定理另有一個等價的有限性敍述(即不牽涉「無窮」的):對任意的正整數 k 和實數 都存在正整數

使得 {1, 2, ..., N} 的每個至少 δN 元的子集,都包含長為 k 的等差數列。

定義 rk(N) 為 {1, 2, ..., N} 的子集當中,不包含長為 k 的等差數列的最大子集的大小。塞邁雷迪定理給出漸近上界

換言之,rk(N) 隨 N 的增長慢於線性。

歷史[编辑]

范德瓦尔登定理是塞邁雷迪定理的先驅,其於 1927 年獲證。

塞邁雷迪定理中, k = 1 和 k = 2 的情況顯然成立。 k = 3 的結論關乎薩萊姆-斯賓塞集英语Salem-Spencer set(不包含 3 項等差數列的整數子集)的大小。1953 年,克勞斯·羅特[2] 利用類似哈代-李特爾伍德圓法的方法,證明了 k = 3 的結論。1969 年,塞迈雷迪·安德烈[3]利用組合學方法證明了 k = 4 的情況。在 1972 年,羅特[4]利用類似自己證明 k = 3 的情況的方法,給出了 k = 4 的情況的另證。

塞邁雷迪於 1975 年給出了適用於所有 k 的證明。[5] 他巧妙地擴展了自己先前對 k = 4 的情況的組合論證,艾狄胥稱該證明為「組合學推理的傑作」("a masterpiece of combinatorial reasoning")[6]. 定理亦有若干其他證明,較重要的有:1977 年希勒爾·菲斯滕貝格英语Hillel Furstenberg利用遍历理论給出的證明[7][8],以及 2001 年高爾斯結合傅里叶分析组合数学給出的證明[9]陶哲轩稱塞邁雷迪定理的眾多證明為「羅塞塔石碑」,因為它們連結了幾個乍看之下迥異的數學分支。[10]

rk(N) 的具體大小[编辑]

rk(N) 的確切增長速度仍然未知。目前所知的上下界為

其中 歐布萊恩(Kevin O'Bryant) 證出了上述的下界[11] ,其證明建基於貝哈連德(Felix Behrend)[12]羅伯特·藍欽英语Robert Alexander Rankin[13],以及埃爾金(Michael Elkin) [14][15]先前的成果。上界由高爾斯證出。[9]

對於較小的 k, 可以找到比起一般情況更緊的上下界。當 k = 3 時,布爾甘[16][17]、希思-布朗 (Roger Heath-Brown)[18]、塞邁雷迪[19],以及湯·桑德斯英语Tom Sanders (mathematician)[20]依次給出了愈來愈好的下界。目前所知的上下界為

兩邊的界限分別由歐布萊恩[11] 和布魯姆(Thomas Bloom) [21] 給出。

k = 4 時,本·格林英语Ben Green (mathematician)和陶哲軒[22][23] 證明了存在 c > 0 使得

推廣[编辑]

希勒爾·菲斯滕貝格英语Hillel Furstenberg伊扎克·卡茨內勒松英语Yitzhak Katznelson利用遍歷理論整明了塞邁雷迪定理的高維推廣。[24] 高爾斯[25]沃伊傑赫·勒德爾英语Vojtěch Rödl和約澤夫·斯科肯 (Jozef Skokan) [26][27] ,以及布蘭登·納格 (Brendan Nagle)、 勒德爾和馬蒂亞斯·沙赫特英语Mathias Schacht[28] ,和陶哲軒[29]給出了各自的組合學證明。

亞歷山大·萊布門 (Alexander Leibman) 和維塔利·別爾格爾松英语Vitaly Bergelson[30] 給出定理對多項式列的推廣:若 的上密度為正,且 為滿足 整值多項式英语Integer-valued polynomial,則存在無窮多組 使得對都有 萊布門和別爾格爾松的結果同樣適用於高維的情況。

塞邁雷迪定理的有限性版本可推廣至有限的加法群上,例如有限域上的向量空间[31] 定理在有限域上的類比,是有助理解原定理(在正整數集上)的模型。[32] 所謂封頂集英语Cap set問題,就是要找出向量空間 所包含的無 3 項等差數列的最大子集的大小,即塞邁雷迪定理當 k = 3 時的界限。

格林-陶定理斷言,存在任意長的質數等差數列。此結論不能由塞邁雷迪定理推出,因為質數集的密度為 0. 本·格林英语Ben Green (mathematician)和陶哲軒在其證明中引入了「相對性」(英語:relative) 的塞邁雷迪定理,該定理適用於任意具特定偽隨機性的整數子集(允許密度為 0)。大衛·康倫英语David Conlon雅各布·福克斯英语Jacob Fox和趙宇飛[33] (Yufei Zhao)其後亦給出了適用於更一般情況的相對性塞邁雷迪定理。[34][35]

埃尔德什等差数列猜想可以推出塞邁雷迪定理和格林-陶定理。

參見[编辑]

參考資料[编辑]

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外部鏈結[编辑]