外森比克不等式

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外森比克不等式Weitzenböck's inequality)是有关三角形边长和面积的一个不等式。設三角形的邊長為面積,則外森比克不等式声称成立。若且唯若三角形為等邊三角形,等號成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。

在1961年国际奥林匹克数学竞赛中,此题曾被要求学生证明。

证明一[编辑]

除了“所有平方数非负”以外,这个证明不用到其它任何不等式。

两边取平方根,即得证。

证明二[编辑]

这个证明用到了排序不等式算术-几何平均值不等式

证明三[编辑]

拿破仑三角形的面积的平方的6倍等于不等式左边减去右边,显然面积平方不小于 0,从而不等式成立。