外测度

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数学中,特别是测度论中,外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值函数,并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进,目的是给可测集可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上(例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理)。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量,现在称为豪斯多夫维数

从长度,面积及体积归纳出來的测度概念,对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数,使其滿足以下4个条件:

  1. 任意实数区间 有测度
  2. 測度函數 是非負扩展实数值函數,定义在的所有子集合上;
  3. 平移不变性:任给集合和实数 有相同的测度(这里,);
  4. 可数可加律:对的任意的两两无交的子集序列,有:

事实上,这几条要求是不相容的。这样的測度函數 不能定义在的所有子集上,也就是说,不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合,使得可数可加性得到满足。

定義[编辑]

外測度是从冪集合的映射

滿足以下條件:

  • 次可加性: 对X的任意子集序列(无论交集是否为空)

这样我们可以定义可测性:称 的子集-可测的,当且仅当对的任意子集

全体 -可测的子集构成了一个-代数限制在全体可测集上是可数可加的完备测度。这个方法是Carathéodory构造出来的,是构造勒贝格测度积分理论的重要方法。

外測度与拓扑学[编辑]

假設 是一個度量空間是一個在 之上的外測度。若 有以下性質 :

只要

就有

那么称是一个度量外测度

如果上的度量外测度,那么的每个Borel子集都是-可测的。

外測度的构造[编辑]

有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。

为一集合,的包含空集子集族上的非负扩展实数值函数,且 在空集处取零。

那么定义

是一个外测度。

另一种方法在度量空间上更有效,因为它直接得到了度量外测度。设 是一个度量空间,的包含空集的子集族,上的非负扩展实数值函数,且在空集处取零。那么,对任意,令

成立,因为减小时,下确界是在更小的集合上取得的。所以

存在(可能是无穷大)。

这样构造的是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。

參考[编辑]

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
  • M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953