多重指标

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多重指標是數學中一種方便的表示法,它將指標中的單個整數推廣為多個整數,它可以簡化多元微積分偏微分方程分佈理論中的計算,也便於操作冪級數

定義與運算[编辑]

一個 -維多重指標是一個由整數構成的向量

為多重指標,定義:

應用最廣的是非負的多重指標,此時可以定義:

(假設
,定義
其中

命題. 若 是非負的 維多重指標,且 ,則

按定義直接操作即可證明。

應用[编辑]

多元微積分[编辑]

多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子:

多元冪級數:有兩個以上變元的冪級數通常寫成

其中 -維多元指標而 ,以簡化冗長的表法

多項展開

萊布尼茨公式:設 存在夠高階的導數,則

泰勒展開式 對一多元解析函數 f,當 充分小時有下述展開

其實這不外是定義,多元指標在此提供了簡練的表示法。

對於存在夠高階導數的函數,我們也有帶餘項的泰勒展開式

其中的最後一項(餘項)有多種表法,例如柯西的積分表法:

偏微分算子[编辑]

一個形式上的 變元 -階偏微分算子能以多重指標寫成

分部積分:對有界定義域 上的緊支集光滑函數,我們有

此公式用以定義分佈弱導數


文獻[编辑]

  • Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

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