多重线性映射

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线性代数中,多重线性映射是有多个向量变量而对每个变量都是线性的函数

n个变量的多线性映射也叫做n重线性映射。

如果所有变量属于同一个空间,可以考虑对称反对称交替n重线性映射。后两个是一致的,如果底层的环(或域)有不同于二的特征,否则前两个是一致的。

一般讨论可见多重线性代数

例子[编辑]

n×n矩阵上多重线性映射[编辑]

可以考虑在有单位元的交换环K上的n×n矩阵上的多重线性函数为矩阵的行(或等价说列)上的函数。设A是这样的矩阵而a_i, 1 ≤ inA的行。则多重线性函数D可以写为

D(A) = D(a_{1},\ldots,a_{n})

满足

D(a_{1},\ldots,c a_{i} + a_{i}',\ldots,a_{n}) = c D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{n}) + D(a_{1},\ldots,a_{i}',\ldots,a_{n})

如果我们设\varepsilon_j表示单位矩阵的第j行,我们表示每行a_{i}为总和

a_{i} = \sum_{j=1}^n A(i,j)\varepsilon_{j}

利用D的多线性我们重写DA)为

D(A) = D\left(\sum_{j=1}^n A(i,j)\varepsilon_{j}, a_2, \ldots, a_n\right)
       = \sum_{j=1}^n A(i,j) D(\varepsilon_{j},a_2,\ldots,a_n)

继续这种代换于每个a_i我们得到,对于1 ≤ in

D(A) = \sum_{1\le k_i\le n} A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n}) D(\varepsilon_{k_{1}},\dots,\varepsilon_{k_{n}})

所以D(A)是唯一的决定自它如何运算于D(\varepsilon_{k_{1}},\dots,\varepsilon_{k_{n}})上。

2×2矩阵的情况下我们得到

D(A) = A_{1,1}A_{2,1}D(\varepsilon_1,\varepsilon_1) + A_{1,1}A_{2,2}D(\varepsilon_1,\varepsilon_2) + A_{1,2}A_{2,1}D(\varepsilon_2,\varepsilon_1) + A_{1,2}A_{2,2}D(\varepsilon_2,\varepsilon_2)

这裡的\varepsilon_1 = [1,0]\varepsilon_2 = [0,1]。如果我们限制D是交替函数,则D(\varepsilon_1,\varepsilon_1) = D(\varepsilon_2,\varepsilon_2) = 0D(\varepsilon_2,\varepsilon_1) = -D(\varepsilon_1,\varepsilon_2) = -D(I)。设D(I) = 1我们得到在2×2矩阵上行列式函数:

D(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{1,2}A_{2,1}

性质[编辑]

多重线性映射有零值,只要它的一个参数是零。

对于n>1,唯一的也是线性映射的n-线性映射是零函数

参见[编辑]