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大十二面體

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大十二面體
大十二面體
大十二面體
類別 星形正多面體
12
30
頂點 12
歐拉特徵數 F=12, E=30, V=12 (χ=-6)
面的種類 12個正五邊形{5}
面的佈局英语Face configuration V(5/2)5
頂點圖 (55)/2[1]
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
施萊夫利符號 {5,5/2}
威佐夫符號英语Wythoff symbol 52 | 2 5
對稱群 Ih, H3, [5,3], *532
參考索引 U35, C44, W21
對偶 小星形十二面體
特性 頂點正
非凸
Great dodecahedron vertfig.png
(55)/2[1]
頂點圖
Small stellated dodecahedron.png
小星形十二面體
(對偶多面體)

幾何學中,大十二面體[2]又稱為第二星形正十二面體[3][4],是一個由6對互相平行的正五邊形組成的非凸正多面體,同時也是一種星形正多面體[5],其外形有如內有星形圖案的正二十面體或每面內凹三角錐的正二十面體[6],是三種星形十二面體之一[4][3]。其頂點的布局與正二十面體相同,但邊的連結方式不同,因此可以視為正十二面體經過刻面英语faceting後的多面體[2]對偶多面體小星形十二面體。這個多面體被認為是由路易·龐索英语Louis Poinsot在1810年發現[7][8],雖然在溫佐·雅姆尼策爾英语Wenzel Jamnitzer於1568年出版的著作《Perspectiva Corporum Regularium》中有一幅形狀非常類似大十二面體的圖畫[9]。1983年時,溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多星形多面體模型,其中也收錄了此種形狀,並給予編號W21[10]

性質[编辑]

大十二面體是4個非凸正多面體之一,具二十面體的對稱性[11],由12個面[12]、30條邊和12個頂點所組成[13][14],其12個面皆為正五邊形面,其中12個五邊形中有6對互相平行的五邊形。其每個頂角都是由5個五邊形以五角星的路徑構成的五面角,因此在施萊夫利符號中可利用{5,5/2}來表示[15],意為此立體的所有頂角組成的面皆為五邊形{5},並且以五角星{5/2}的方式構成。而在考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin digram中則利用CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png來表示[16]

星狀圖英语Stellation diagram 外觀 星狀核 凸包
Second stellation of dodecahedron facets.svg Second stellation of dodecahedron.png Dodecahedron.png
正十二面體
Icosahedron.png
正二十面體

面的組成[编辑]

大十二面體由12個正五邊形面組成,每個正五邊形面都與另外5個正五邊形面互相相交,因此,其面有一部份是隱沒在圖形內部的,如下左圖,以白色表示,而露在外部的則以藍色表示[5]

Great dodecahedron facets.svg
大十二面體的面
Pentagrammic-order pentagonal tiling (Great dodecahedron).png
同一個五邊形面以同一種顏色標示

二面角[编辑]

大十二面體是一種星形正多面體[17],因此大十二面體僅有一種二面角,其值為五平方根倒數的反餘弦值[18]

頂點座標[编辑]

由於大十二面體的凸包為正二十面體[2],且無頂點落在凸包內,因此大十二面體的頂點座標會與相同邊長的正二十面體相同,邊長為單位長、幾何中心在原點,則其為:[19]

圖像[编辑]

忽略隱沒面後的展開圖[14]
Grand Dodecaedre.jpg
透視模型 球面鑲嵌
GreatDodecahedron.jpg
旋轉動畫
Great dodecahedron tiling.png
此多面體可以表示成一個密鋪密度為3的球面鑲嵌(將其中一個五邊形面以表示)
展開圖 星狀圖
Great dodecahedron net.png × 20
大十二面體可以轉換成外觀相同的簡單多面體,此時,多面體變為由20個凹三角錐組成[6],因此可以展開成60個鈍角等腰三角形。
Second stellation of dodecahedron facets.svg
其也等同於第二星形十二面體,其佔據了星形十二面體的胞中,由內算來第二層的所有星形胞,溫尼爾將其給予編號W21

使用[编辑]

外部图片链接
動畫《遊戲人生》中星杯的外形[20]
亚历山大之星

星形正多面體經常出現在藝術創作中,例如莫里茲·柯尼利斯·艾雪的藝術創作。部分小說也有使用大十二面體進行創作,如《遊戲人生[21]。除了藝術創作外,常見文化也有關於大十二面體的使用,例如部分的魔術方塊之外型[22],以及其投影圖曾作為視覺化的相關實驗性教材[23]

在常見文化中[编辑]

在小說中[编辑]

在電腦科學中[编辑]

相關多面體與鑲嵌[编辑]

部分多面體與鑲嵌與大十二面體有一些幾何關聯。例如部分多面體可透過大十二面體經過康威變換而得到,例如截角大十二面體截半大十二面體[25]、以及其對偶多面體小星形十二面體[19]

對偶多面體[编辑]

大十二面體的對偶多面體[19]

大十二面體的對偶多面體同樣是一個星形正多面體,為小星形十二面體[19],由12個五角星面組成[26]

康威變換的結果[编辑]

部分多面體可透過大十二面體經過康威變換而得到,例如截角大十二面體,即截去大十二面體所有頂點後得到的立體[25][27]

名稱 小星形十二面體 截角小星形十二面體 截半大十二面體 截角大十二面體 大十二面體

英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
圖像 Small stellated dodecahedron.png Dodecahedron.png Dodecadodecahedron.png Great truncated dodecahedron.png Great dodecahedron.png

相關三角化多面體[编辑]

大十二面體可以轉換成外觀相同的簡單多面體,此時,多面體變為由20個凹三角錐組成[6],這時,其拓樸結構則與三角化二十面體相同,皆是在正二十面體的每個三角形面接上三角錐[28][29]

星形三角化二十面體 小三角六邊形二十面體 三角化二十面體 正二十面體 大十二面體
Tetrahedra augmented icosahedron.png DU30 small triambic icosahedron.png Triakis icosahedron.png Uniform polyhedron-53-t2.svg Great dodecahedron.png

星形鑲嵌圖[编辑]

其也可以視為一系列施萊夫利符號中可利用{n,n/2}表示的星形鑲嵌之一,例如七階七角星鑲嵌[30][31]

星形多面體和鑲嵌系列:(n/2)n
對稱群
*n32
[n,3]
球面鑲嵌 平面鑲嵌 雙曲鑲嵌 仿緊湊 非緊湊
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*932
[9,3]
*10 32
[10,3]...
*∞32
[∞,3]
 
[iπ/λ,3]
考克斯特紀號 CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
星形
頂點
布局
Order-5 Pentagrammic tiling.png
(5/2)5
Tiling 6-2 6.png
(6/2)6
Hyperbolic tiling 7-2 7.png
(7/2)7
Order-8 octagrammic tiling.png
(8/2)8
Order-9 enneagrammic tiling.png
(9/2)9
Order-10 decagrammic tiling.png
(10/2)10
Infinite-order apeirogrammic tiling.png
(/2)
(/2)
Star polygon 5-2.svg Star polygon 6-2.svg Star polygon 7-2.svg Star polygon 8-2.svg Star polygon 9-2.svg Star polygon 10-2.svg
星形對偶
考克斯特紀號 CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png
星形
頂點
布局
Pentagrammic-order pentagonal tiling (Great dodecahedron).png
(55)/2
Hexagrammic-order hexagonal tiling.png
(66)/2
Heptagrammic-order heptagonal tiling.png
(77)/2
Octagrammic-order octagonal tiling.png
(88)/2
Enneagrammic-order enneagonal tiling.png
(9/2)9
Decagrammic-order decagonal tiling.png
(10/2)10
Compound of two half-infinite-order apeirogonal tiling.pngApeirogrammic-order apeirogonal tiling.png
(偶數)(奇數)
()/2
()/2

對偶複合體[编辑]

Compound of great dodecahedron and small stellated dodecahedron.png

大十二面體與其對偶的複合體為複合小星形十二面體大十二面體。其共有24個面、60條邊和24個頂點,其尤拉示性數為-12,虧格為7[32],而在這個立體圖形中,大十二面體完全隱沒於小星形十二面體而不可見[33]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

參考資料
  1. ^ Robert Webb. Great Dodecahedron. software3d.com. [2017-07-25]. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 MathWorldGreat Dodecahedron的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
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  4. ^ 4.0 4.1 MathWorldDodecahedron Stellations的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
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  9. ^ Wenzel Jamnitzer. Perspectiva Corporum Regularium. 1568. 
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參考書目
  1. Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  2. Coxeter, H. S. M. The Fifty-Nine Icosahedra. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg. 1938. ISBN 0-387-90770-X.