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大O符号

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大O符号英语:Big O notation),又稱為漸進符號,是用于描述函数渐近行为数学符号。更确切地说,它是用另一个(通常更简单的)函数来描述一个函数数量级渐近上界。在数学中,它一般用来刻画被截断的无穷级数尤其是渐近级数的剩余项;在计算机科学中,它在分析算法复杂性的方面非常有用。

大O符号是由德国数论学家保罗·巴赫曼英语Paul Bachmann在其1892年的著作《解析数论》(Analytische Zahlentheorie)首先引入的。而这个记号则是在另一位德国数论学家艾德蒙·朗道英语Edmund Landau的著作中才推广的,因此它有时又称为朗道符号(Landau symbols)。代表“order of ...”(……阶)的大O,最初是一个大写希腊字母Ο”(omicron),现今用的是大写拉丁字母O”。

使用[编辑]

无穷大渐近[编辑]

大O符号在分析算法效率的时候非常有用。举个例子,解决一个规模为的问题所花费的时间(或者所需步骤的数目)可以表示為:。当增大时,项将开始占主导地位,而其他各项可以被忽略。举例说明:当项是项的1000倍大,因此在大多数场合下,省略后者对表达式的值的影响将是可以忽略不计的。

进一步看,如果我们与任一其他级的表达式比较,项的系数也是无关紧要的。例如:一个包含项的表达式,即使,假定,一旦增长到大于1,000,000,后者就会一直超越前者()。


这样,針對第一個例子, 大O符号就记下剩余的部分,写作:

并且我们就说该算法具有阶(平方阶)的时间复杂度

无穷小渐近[编辑]

大O也可以用来描述数学函数估计中的误差项。例如泰勒展开

这表示,如果足够接近于0,那么误差绝对值小于的某一常数倍。

注:泰勒展开的误差余项是关于一个高阶无穷小量,用小o来表示,即:=

形式化定义[编辑]

給定兩個定義在實數某子集上的關於的函數,當趨近於無窮大時,當且僅當存在正常數,使得對於所有足夠大(sufficiently_large)的,都有的絕對值小於等於乘以的絕對值,那麼我們就可以說,當時,

也就是說,假如當且僅當存在正實數和實數0,使得對於所有的,均有:成立,我們就可以認爲,

在很多情況下,我們會省略“當趨近於無限大時”這個前提,而簡寫爲:

此概念也可以用於描述函數在接近實數時的行爲,通常。當我們說,當時,有,也就相當於稱,當且僅當存在正實數和實數,使得對於所有的,均有成立。

如果當足夠接近(sufficiently_close)時,的值仍不爲0,這兩種定義就可以統一用上極限來表示:

當且僅當時,有

例子[编辑]

在具体的运用中,我们不一定使用大O符号的标准定义,而是使用几条简化规则来求出关于函数的大O表示:

  • 假如是几项之和,那么只保留增长最快(通常是阶最高)的项,其他项省略。
  • 假如是几项之积,那么常数(不取决于x的乘数)省略。

比如,使,我们想要用大O符号来简化这个函数,来描述接近无穷大时函数的增长情况。此函数由三项相加而成,。由于增长最快的是这一项(因为阶最高,在x接近无穷大时,其对和的影响会大大超过其余两项),应用第一条规则,保留它而省略其他两项。对于,由两项相乘而得,;应用第二条规则,是无关x的常数,所以省略。最后结果为,也即。故有:

,可得:

我们可以将上式扩展为标准定义形式:

对任意,均有,也就是

可以(粗略)求出的值来验证。使

可以为13。故两者都存在。

常用的函数阶[编辑]

下面是在分析算法的时候常见的函数分类列表。所有这些函数都处于趋近于无穷大的情况下,增长得慢的函数列在上面。是一个任意常数。

符号 名称
常数(阶,下同)
对数
多对数
线性,次线性
迭代对数
线性对数,或对数线性、拟线性、超线性
平方
多项式,有时叫作“代数”(阶)
指数,有时叫作“几何”(阶)
阶乘,有时叫做“组合”(阶)

一些相关的渐近符号[编辑]

大O是最经常使用的比较函数的渐近符号。

符号 定义
渐近上限
Asymptotically negligible渐近可忽略不计(
渐近下限(当且仅当
Asymptotically dominant渐近主导(当且仅当
Asymptotically tight bound渐近紧约束(当且仅当

注意[编辑]

大O符号经常被误用:有的作者可能会使用大O符号表达大Θ符号的含义。因此在看到大O符号时应首先确定其是否为误用。

参看[编辑]

参考文献[编辑]

引用[编辑]

来源[编辑]

书籍
  • 严蔚敏、吴伟民:《数据结构:C语言版》. 清华大学出版社,1996. ISBN 7-302-02368-9. 1.4节 算法和算法分析,pp. 14-17.
  • 朱青:《計算機算法與程序設計》. 清华大学出版社,2009.10。ISBN 978-7-302-20267-7. 1.4节 算法的複雜性分析,pp. 16-17.

延伸閱讀[编辑]