天元术

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天元术中国古代的代数学方法之一种,是中国古代建立高次方程的方法。1248年,金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》,以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》,都系统地介绍了用天元术建立二次方程。元代数学家王恂也广泛使用天元术解高次方程。例如在授时历中“问半弧背一度下,黄赤道矢弧若干”一题,王恂用天元术建立和求解四次多项式方程 [1]

其中“天元”相当于现在的未知数,“立天元一为某某”相当于现代数学中的“设某某为”,用天、地表示方程的正次和负次幂,根据问题设未知数,列出两个相等的多项式,进行多项式运算,最后列出有待求解的方程。

历史[编辑]

李冶益古演段》中的天元术
朱世杰算学启蒙》中的天元术
伟烈亚力《中国数学科学札记》论天元术

在中国数学史上最早创立天元概念的是北宋平阳蒋周所著的《益古集》,随后有博陆李文一撰《照胆》,鹿泉石信道撰《钤经》,平水刘汝谐撰《如积释锁》,处州李思聪《洞渊九容》后人才知道有天元。

李冶在东平获得刘汝谐撰《如积释锁》,书中用十九个单字表示未知数的各个的幂:

仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼;其中立天元在上。

后来有太原彭泽彦出,反其道而行,以天元在下[2]

《益古集》,《照胆》,《钤经》,《如积释锁》,《洞渊九容》等早期天元术著作今已失传。李冶在《测圆海镜》中使用天元在上的天元术。后来李冶又著《益古演段》,采用天元在下的次序。朱世杰四元玉鉴》和《算学启蒙》卷下也采用天元在下的次序。

例子[编辑]

a 勾 b 股 c 弦

在天元术中,一次项系数旁记一“元”字(或在常数项旁记一“太”字)。

历史上有两种次序:
《测圆海镜》式

“元”以上的系数表示各正次幂,“元”以下的系数表示常数项和各负次幂)。

例:李冶《测圆海镜》第二卷第十四问方程:

Counting rod v-1.png
Counting rod h6.pngCounting rod h-8.pngCounting rod 0.png
Counting rod v9.pngCounting rod h6.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.png
《益古演段》式

“元”以下的系数表示各正次幂,“元”以上的系数表示常数和各负次幂

例一:

李冶益古演段》卷中第三十六问中的方程= 用天元术表示为:


Counting rod v2.pngCounting rod 0.pngCounting rod v-3.pngCounting rod h2.pngCounting rod v5.png
Counting rod v2.pngCounting rod h1.pngCounting rod 0.png 元(x)
Counting rod v3.png项)


其中“太”是常数项,算筹Counting rod v3.png 打斜线表示该项常数为负数。 “元”相当于未知数x

例二:

朱世杰算学启蒙》下卷第四问

将代数方程

表示为天元方程:

Counting rod h2.pngCounting rod 0.pngCounting rod h5.pngCounting rod v-1.png
Counting rod h9.pngCounting rod v2.png
Counting rod v-1.png

例三:

朱世杰《四元玉鉴》《一气混元》

今有黄方乘直积得二十四步,只云股弦和九步,问勾几何?
答曰:三步。
草曰:立天元一为勾,

根据条件 黄方乘直积得二十四步

黄方:[3]
直积:
此外:股弦和九步

(立天元一为勾) 由此得方程

Counting rod v3.pngCounting rod h8.pngCounting rod v-8.pngCounting rod h8.png
Counting rod 0.png
Counting rod v7.pngCounting rod h2.pngCounting rod v9.png
Counting rod v-8.pngCounting rod h1.png
Counting rod v-9.png
Counting rod v1.png

解之,得勾=3

天元术与阿拉伯代数之差异[编辑]

天元术与阿拉伯代数虽功用相同,但方法迥异。天元术可解高次方程,阿拉伯代数只能解一次,二次方程。天元术解根只求正根,但阿拉伯代数解二次方程得二根。[4]

参见[编辑]

益古演段》 《算学启蒙》 《四元玉鉴

参考文献[编辑]

  1. ^ 吴文俊主编 《中数学史大系》 第六卷 第三编 第三节 《解高次方程》 186-193页
  2. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第六卷 35-43页
  3. ^ 朱世杰原著 李兆华校正 《四元玉鉴》 148页 科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6
  4. ^ 钱宝琮 《金元之际数学之发展》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷9 340页