奥斯特洛夫斯基定理

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奥斯特洛夫斯基定理于1916年由亚历山大·奥斯特洛夫斯基证明,任何非平凡的有理数Q绝对赋值等价于通常实数域的绝对赋值,或等价于p进数的绝对赋值。

定义[编辑]

定义两个绝对赋值|\cdot||\cdot|_{\ast} 是等价的,如果存在一个实数才c>0,使得:

|x|_{\ast} = |x|^{c} \mbox{ for all } x \in \mathbb{K}.

这是比两绝对赋值结构的拓扑同构的更严格的定义。

任何域的平凡绝对赋值被定义为:

|x|_{0} := \begin{cases} 0, & \mbox{if }  x = 0  \\ 1,  & \mbox{if } x \ne 0. \end{cases}

有理数Q的实绝对赋值是正规实绝对赋值,定义为:

|x|_{0} := \begin{cases} 0, & \mbox{if }  x = 0  \\ 1,  & \mbox{if } x \ne 0. \end{cases}

有时下标无穷∞被写成下标1。

对一个素数p,p-adic的绝对赋值的定义如下:

任何非零的,有理数x可以唯一写成x=p^{n}\dfrac{a}{b}a,b和p两两互质和一些整数,n∈Z,p进数的绝对赋值的定义:

|x|_{p} := \begin{cases} 0, & \mbox{if }  x = 0  \\ p^{-n},  & \mbox{if }  x \ne 0. \end{cases}

另一个奥斯特洛夫斯基定理[编辑]

另一个奥斯特洛夫斯基定理指出,任何阿基米德绝对赋值完备域(从代数结构拓扑结构方面)要么同构实数域复数域。这有时也称为奥斯特洛夫斯基定理。

参考[编辑]