威尔逊定理

威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1773年由拉格朗日首次证明。

在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当p为素数时：

$(p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ p)$$(p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ p)$

但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大。

证明

充分性

如果“p”不是素数，那么它的正因数必然包含在整数1, 2, 3, 4, … , p − 1 中，因此gcd((p − 1)!, p) > 1，所以我们不可能得到(p − 1)! ≡ −1 (mod p)。

必要性

若p是素数,取集合 $A=\left\{1,2,3,...p-1\right\}$$A=\left\{1,2,3,...p-1\right\}$; 则A 构成模p乘法的缩系,即任意i∈A ,存在j∈A,使得:

$(ij)\ \equiv \ 1{\pmod {p}}$$(ij)\ \equiv \ 1{\pmod {p}}$

那么A中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定,但只需考虑这种情况

$x^{2}\ \equiv \ 1{\pmod {p}}$$x^{2}\ \equiv \ 1{\pmod {p}}$;

解得:$x\ \equiv \ 1{\pmod {p}}$$x\ \equiv \ 1{\pmod {p}}$或

$x\ \equiv \ p-1{\pmod {p}}$$x\ \equiv \ p-1{\pmod {p}}$

其余两两配对;故而

$(p-1)!\ \equiv \ 1*(p-1)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}$$(p-1)!\ \equiv \ 1*(p-1)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}$

若p不是素数且大于4, 则易知有$d=\gcd[p,(p-1)!]=p$$d=\gcd[p,(p-1)!]=p$

故而

$(p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}$$(p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}$