婆羅摩笈多公式

歐氏平面幾何中，婆羅摩笈多公式是用以計算圓內接四邊形的面積的公式，以印度數學家婆羅摩笈多之名命名。一般四邊形的面積公式請見布雷特施奈德公式。

基本形式

婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式，是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為$a$, $b$, $c$, $d$，則其面積為：

${\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

其中$s$為半周長：

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}$

证明

圆内接四边形的面积 = $\triangle ADB$的面积 + $\triangle BDC$的面积

$={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.$

但由于$ABCD$是圆内接四边形，因此$\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB$。故$\sin A=\sin C$。所以：

${\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A$

$({\mbox{Area}})^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pq+rs)^{2}$

$4({\mbox{Area}})^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pq+rs)^{2}\,$

$4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-cos^{2}A(pq+rs)^{2}.\,$

对$\triangle ADB$和$\triangle BDC$利用余弦定理，我们有：

$DB^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,$

代入$\cos C=-\cos A$（这是由于$A$和$C$是互补角），并整理，得：

$2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,$

把这个等式代入面积的公式中，得：

$4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}$

$16({\mbox{Area}})^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2},\,$

它是$a^{2}-b^{2}$的形式，因此可以写成$(a+b)(a-b)$的形式：

$(2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})(2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2})\,$

$=[(p+q)^{2}-(r-s)^{2}][(r+s)^{2}-(p-q)^{2}]\,$

$=(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p).\,$

引入$T={\frac {p+q+r+s}{2}}$，

$16({\mbox{Area}})^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s).\,$

两边开平方，得：

${\mbox{Area}}={\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}}.$

证毕。

更特殊情況

若圓$O$的圆內接四邊形的四邊長為$a$, $b$, $c$, $d$，且外切于圆$C$，則其面積為：

${\sqrt {abcd}}$

证明

由于四边形内接于圆$O$，所以：

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$

其中p為半周長：

$p={\frac {a+b+c+d}{2}}$

又因为四边形外切圆$C$，所以：

$a+c=b+d$

则：

$p-a={\frac {b+c+d-a}{2}}={\frac {a+c+c-a}{2}}=c$

同理:

$p-b=d$， $p-c=a$， $p-d=b$

综上：

$S={\sqrt {abcd}}$

证毕。

一般情況

布雷特施奈德公式

對一般四邊形的面積有布雷特施奈德公式，其敘述如下：

${\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}$

其中 $\theta$ 是四邊形一對對角和的一半。

注意到不論取到哪一對對角 $\cos ^{2}\theta$ 的值都一樣，因為四邊形的內角和是 $2\pi$，故如果選取到的是另一對角，其對角和的一半是 $\pi -\theta$。而 $\cos(\pi -\theta )=-\cos \,\theta$，所以有 $\cos ^{2}(\pi -\theta )=\cos ^{2}\theta$。

假設此時四邊形恰好四頂點共圓，由於圓內接四邊形的對角和為 $\pi$，因此 $\theta ={\pi \over 2}$，而且由 $\cos \,{\pi \over 2}=0$，可推得此時 $abcd\cos ^{2}\theta =0$，布雷特施奈德公式恰好退化回婆羅摩笈多公式。

柯立芝公式

另一個由柯立芝所證明的公式如下：

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,$

其中$p$及$q$為四邊形對角線之長。在圓內接四邊形中，根據托勒密定理我們有$pq=ac+bd$，此公式退化回為婆羅摩笈多公式。

相關定理

海倫公式給出三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取$d=0$的特殊情形。

婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式，就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。