子集

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A是B的子集

子集,為某個集合中一部分的集合,故亦稱部分集合

AB集合,且A的所有元素都是B的元素,则有:

  • AB子集(或称包含于B);
  • AB;
  • BA父集/超集(或称包含A);
  • BA.

所有集合B都是其本身的子集。 不等于BB的子集称为真子集。 若AB的真子集,则写作AB。 "是……的子集"的关系称为包含

定义[编辑]

假设有 AB 两个集合,如果 A 中的每个元素都是 B 的元素,则:

  • AB子集,记作
也可以说
  • BA超集,记作

如果 AB 的子集,但 A等于 B(即 B 中至少存在一个元素不在 A 集合中),则:

  • AB真子集,记作
也可以说
  • BA真超集,记作

符号[编辑]

符号 ⊆ 表示任何子集关系,符号 ⊊ 表示真子集关系。⊂ 也是一个很常見的符号,但其含义容易混淆。

有人用 ⊂ 和 ⊃ 表示任何子集和超集关系,即 ⊆ 和 ⊇ 所分别代表的含义。[1][2][3]所以在这些作者的文章中,对于任意集合 A 始终成立。

也有人用 ⊂ 和 ⊃ 表示真子集和真超集的概念,即 ⊊ 和 ⊋ 所分别代表的含义。[4]:p.6这样 ⊆ 和 ⊂ 就类似于不等符号 ≤ 和 < 的关系。例如如果 ,那么 x 可能等于 y 也可能不等于,而如果 ,那么 x 就一定不等于 y。换用 ⊂ 表示真子集,如果 ,那么 A 可能等于 B 也可能不等于,而如果 ,那么 A 就一定不等于 B

ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配:使用 ⊆ 表示子集关系,⊂ 表示真子集关系;或者使用 ⊂ 表示子集关系,使用 ⊊ 表示真子集关系。

举例[编辑]

  • 集合{1, 2}是集合{1, 2, 3}的真子集。
  • 自然数集合是有理数集合的真子集。
  • 集合{x : x是大于2000的素数}是集合{x : x是大于1000的奇数}的真子集。
  • 任意集合是其自身的子集,但不是真子集。
  • 空集,写作 ,是任意集合X的子集。空集总是其他集合的真子集,除了其自身。

性质[编辑]

命题1空集是任意集合的子集。

这个命题说明:包含是一种偏序关系

命题2:若ABC是集合,则:

自反性
  • A ⊆ A
反对称性
传递性
  • A ⊆ BB ⊆ CA ⊆ C

这个命题说明:对任意集合SS幂集按包含排序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数

命题3:若ABC是集合S的子集,则:

存在一个最小元和一个最大元
  • ∅ ⊆ A ⊆ S( ∅ ⊆ A 由命題1給出)
存在并运算
  • A ⊆ AB
  • A ⊆ CB ⊆ CAB ⊆ C
存在交运算
  • AB ⊆ A
  • C ⊆ AC ⊆ BC ⊆ AB

命题4:对任意两个集合AB,下列表述等价:

  • A ⊆ B
  • A ∩ B  =  A
  • A ∪ B  =  B
  • A − B  =  
  • B′ ⊆ A

这个命题说明:表述"AB ",和其他使用并集交集补集的表述是等价的,即包含关系在公理体系中是多余的。

參考文獻[编辑]

  1. ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], (原始内容存档于2012-07-03) 
  2. ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07] 
  3. ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14] 
  4. ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 924157 

参见[编辑]

  • 冪集:某集合的全部子集组成的集合。