字度量

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群論中,字度量是在上的一種度量,就是一個方法去量度群中兩個元素之間的距離。給出群生成集,每個元素都可以用寫成很多個不同的字。例如設是所有整數組成的群,取,3就可以寫成1+1+1,或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每個字用了多少個的元素,這就是字的長度,例如1+1+1的長度是3,-1+1+1-1+1+1+1的長度是7。可以用英文字來比喻:英文字的生成集是英文字母,字的長度就是字母的數目,如colour的長度是6,color的長度是5。

兩個元素字度量定義為表示成的最短的的長度。

兩個元素的字度量,等於凱萊圖中這兩個元素的距離。[1]

例子[编辑]

考慮整數群。若取生成集合,那麼兩個整數之間的字度量是

若取另一個生成集合,則之間的字度量,因為所能表示成的最短的字(3-2或-2+3)的長度為2。

性質[编辑]

從字度量的定義可以看出,群於自身的左乘作用下,字度量不變:

(因為。)

一個群給出不同的生成集合,對應的字度量可以不同。不過,如果是有限生成的,則兩個有限的生成集合所給出的字度量是雙利普希茨的,即存在常數使得對任何都有

證明如下:中的各元素用表示成的字,其中最長的長度設為。那麼每個用表示成的字,都可用改寫成不超過倍的長度的字。故此

同樣地,有

的較大者,得出不等式。

參考[编辑]

  1. ^ É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.