字度量

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群論中,字度量是在上的一種度量,就是一個方法去量度群中兩個元素之間的距離。給出群G生成集S,每個元素都可以用S寫成很多個不同的字。例如設G是所有整數組成的群(\mathbb Z,+),取S=\{\pm 1\},3就可以寫成1+1+1,或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每個字用了多少個S的元素,這就是字的長度,例如1+1+1的長度是3,-1+1+1-1+1+1+1的長度是7。可以用英文字來比喻:英文字的生成集是英文字母,字的長度就是字母的數目,如colour的長度是6,color的長度是5。

兩個元素g, h\in G字度量d_S(g,h)定義為g^{-1} hS表示成的最短的的長度。

兩個元素的字度量,等於凱萊圖\Gamma(G,S)中這兩個元素的距離。[1]

例子[编辑]

考慮整數群(\mathbb Z,+)。若取生成集合S=\{\pm 1\},那麼兩個整數m,n之間的字度量是d_S(m,n)=\left|-m+n\right|

若取另一個生成集合S'=\{\pm 2,\pm 3\},則mm+1之間的字度量d_{S'}(m,m+1)=2,因為-m+(m+1)S'所能表示成的最短的字(3-2或-2+3)的長度為2。

性質[编辑]

從字度量的定義可以看出,群於自身的左乘作用k\cdot g \mapsto kg下,字度量不變:

d_S(g,h) = d_S(kg,kh)

(因為(kg)^{-1}(kh)=g^{-1}h。)

一個群G給出不同的生成集合,對應的字度量可以不同。不過,如果G是有限生成的,則兩個有限的生成集合S_1,S_2所給出的字度量是雙利普希茨的,即存在常數C>1使得對任何g,h\in G都有

\frac 1 C d_{S_1}(g,h) \leq d_{S_2}(g,h) \leq C d_{S_1}(g,h)

證明如下:S_1中的各元素用S_2表示成的字,其中最長的長度設為C_1。那麼每個用S_1表示成的字,都可用S_2改寫成不超過C_1倍的長度的字。故此

 d_{S_2}(g,h) \leq C_1 d_{S_1}(g,h)

同樣地,有

 d_{S_1}(g,h) \leq C_2 d_{S_2}(g,h)

CC_1C_2的較大者,得出不等式。

參考[编辑]

  1. ^ É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.