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字符串运算

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计算机科学领域形式语言理论中,经常用到各种字符串函数;但是符号不同于计算机编程中所用到的,某些在理论领域中常用的函数,在编程中很少用到。本文定义其中一些基本术语。

字符串的字母表[编辑]

字符串的字母表是在一个特定字符串中出现的所有字母的列表。如果s是字符串,则它的字母表指示为

这可以等价地认为是先把字符串中的所有字母按照给定的顺序排好,再去掉其中重复者。

字符串代换[编辑]

L是一个语言,并设是它的字母表。字符串代换或简称代换是映射f,它把中的字母映射到(可能有不同的字母表的)语言。比如,给定一个字母,有这里的是其字母表为的某个语言。这个定义可被扩展到字符串为

对于空串,和

对于字符串。字符串代换可以被扩展到整个语言为

字符串代换的一个例子出现在正则语言中,它闭合于字符串代换之下。就是说,如果一个正规语言的字母被另一个正规语言所代换,结果仍是正规语言。

字符串同态[编辑]

字符串同态是使得每个字母被替代为一个单一字符串的字符串代换。就是说,,这里的s是字符串,对于每个字母a。字符串同态是保持字符串连接二元运算同态。给定一个语言L的集合叫做L同态像。字符串s逆同态像被定义为

而语言L的逆同态像被定义为

注意一般的说,然而确实有

对于任何语言L。简单单一字母置换密码是字符串代换的例子。

字符串投影[编辑]

如果s是字符串,而是字母表,s字符串投影是通过删除不在中的所有字母结果的字符串。它被写为。它通过从右手端切除字母来得出形式定义:

这里的指示空串。字符串的投影本质上同于关系代数中的投影。

字符串投影可以提升为语言的投影。给定形式语言L,它的投影给出自

右商[编辑]

字符串s 与字母a右商是在字符串s中切断右手端字母a得到的字符串。它被指示为。如果字符串在右手端没有a,则结果是空串。就是:

空串的右商可以是:

类似的,给出幺半群的子集,可以定义商子集为

左商可以类似的定义,运算发生在字符串的左端。

语法关系[编辑]

幺半群的子集的右商定义了一个等价关系,叫做S语法关系。它给出为

关系明显是有有限索引的(有有限数目个等价类),当且仅当右商族有限的;就是说如果

是有限的。在这种情况下,S可识别语言,就是说可被有限状态自动机识别的语言。这个在语法幺半群中详细讨论。

右取消[编辑]

字符串s与字母a右取消是切除字符串s右手端的字母a的首次出现得到的字符串。它被指示为并被递归的定义为

空串总是可取消的:

明显的,右取消和投影可交换

前缀[编辑]

字符串的前缀是关于给定语言一个字符串的所有前缀的集合:

语言的前缀闭包

一个语言叫做前缀闭合的,如果。明显的,前缀闭包算子是幂等的:

前缀关系二元关系,有着当且仅当

前缀文法生成(关于这个文法)前缀闭合的语言。

参见[编辑]

引用[编辑]

  • John E. Hopcroft and Jeffrey D. Ullman, Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, Addison-Wesley Publishing, Reading Massachusetts, 1979. ISBN 0-201-02988-X. (See chapter 3.)