完备性

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数学及其相关领域中,一个对象具有完备性,即它不需要添加任何其他元素,这个对象也可称为完备的完全的。更精确地,可以从多个不同的角度来描述这个定义,同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中,“完备”也有不同的含义,特别是在某些领域中,“完备化”的过程并不称为“完备化”,另有其他的表述,请参考代数闭域紧化compactification)或哥德尔不完备定理

  • 范畴论,一个范畴C被称为完备的,如果任何一个从小范畴到C函子都有极限。而它被称为上完备的,如果任何函子都有一个上极限。请查看范畴论中的极限定义。
  • 数理逻辑,一个理论被称为完备的,如果对于其語言中的任何一个句子S,这个理论包括且仅包括S\neg S。一个系统是相容的,如果不存在同时P和非P的证明。哥德尔不完备定理证明了,包含皮亚诺公理的所有公理系统都是不可能既完备又相容的。下面还有一些逻辑中关于完备性的定义。
  • 证明论和相关的数理逻辑的领域中,一个形式的演算相对于一个特定的逻辑(即相对于它的语义)是完备的,如果任何由一组前提Q根据语义导出的陈述P,都可以从这组前提出发利用这个演算语法地syntactically)导出。形式地说,G \models P导出 G \vdash P 一阶逻辑在这个意义下是完备的。特别地,所有逻辑的重言式都可以被证明。即使在经典逻辑中,这与前述的完备性是不同的(即一个陈述和否定陈述对于这个逻辑而言不可能是重言式)。相反的概念被称为可靠性soundness)。
  • 计算复杂度理论中,一个问题P对于一个复杂度类C,在某个给定类型的归约下是完全的complete),如果PC中,并且C中的任何问题利用该归约都可以化归到P。例如,NP完全问题NP类和多项式时间和多对一归约的意义下是完全的。