实函数

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实函数(Real function),指定义域值域均为实数集子集函数。實函數的特性之一是可以在坐標平面上畫出圖形。

定義[编辑]

一個實函數 f 是一個把實數(一般以 x 表示)映射到另一實數(函數的值,一般以 f(x) 表示)的函數。換句話說,實函數是一個函數 ,當中 一個包含至少一個開集的子集(可以等於 )。

定義於所有非負實數平方根函數便是一個例子:,當中 是所有非負實數的集合及對所有

定義域[编辑]

一個實函數的定義域未必總是明確寫出。對任一定義域為 X 的實函數 f 和任一 X 的子集 Y,可定義 fY 的限制函數 f|Y。其定義域為 Y 而對所有 Y元素,函數的取值維持不變。若 YX 的真子集,這兩個函數理論上並不相同,但往往可將兩者視為等同。

相反,有時函數的定義域可透過解析延拓或利用函數的連續性擴大。由此可見,明確指出實函數的未必有明顯價值。

像與值域[编辑]

函數 f 的值域是指當 x 可取定義域內任何值時,f(x) 所有可能取值的集合。若 f連續實函數而其定義域是一個區間,那麼它的值域也會是一個區間(除非 f常數函數,此時其值域將是一點)。

對任何實數 y,方程式 y=f(x) 所有實數解的集合稱為 y原像

代數結構[编辑]

實函數之間的運算可如下定義:

  • 對任意實數 r 及實函數 f,可定義兩者的積 。若 r 不等於 0,則此函數的定義域與 f 相同。
  • 對任何兩個實函數 fg,可定義兩者的和 及積 。兩者的定義域均為 fg 的定義域的交集

由此,所有定義於全部實數和所有定義於某一特定區間的實函數分別組成 上的結合代數(也因此組成一個向量空間),其中加法和乘法單位元分別為常數函數

雖然對任意實函數 f 可定義 ,但由於此函數的定義域不包含所有使得 f(x)=0x 值,它不一定等於 f 的定義域,所以上述代數結構不構成一個

參見[编辑]