实函数

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实函数(Real function),指定义域值域均为实数集子集函数。實函數的特性之一是可以在坐標平面上畫出圖形。

定義[编辑]

一個實函數f是一個把實數(一般以x表示)映射到另一實數(函數的值,一般以f(x)表示)的函數。換句話說,實函數是一個函數,當中一個包含至少一個開集的子集(可以等於)。

定義於所有非負實數平方根函數便是一個例子:,當中是所有非負實數的集合及對所有

定義域[编辑]

一個實函數的定義域未必總是明確寫出。對任一定義域為X的實函數f和任一X的子集Y,可定義fY的限制函數f|Y。其定義域為Y而對所有Y元素,函數的取值維持不變。若YX的真子集,這兩個函數理論上並不相同,但往往可將兩者視為等同。

相反,有時函數的定義域可透過解析延拓或利用函數的連續性擴大。由此可見,明確指出實函數的未必有明顯價值。

像與值域[编辑]

函數f的值域是指當x可取定義域內任何值時,f(x)所有可能取值的集合。若f連續實函數而其定義域是一個區間,那麼它的值域也會是一個區間(除非f常數函數,此時其值域將是一點)。

對任何實數y,方程式y=f(x)所有實數解的集合稱為y原像

代數結構[编辑]

實函數之間的運算可如下定義:

  • 對任意實數r及實函數f,可定義兩者的積。若r不等於0,則此函數的定義域與f相同。
  • 對任何兩個實函數fg,可定義兩者的和及積。兩者的定義域均為fg的定義域的交集。由此,所有定義於全部實數和所有定義於某一特定區間的實函數分別組成上的結合代數(也因此組成一個向量空間),其中加法和乘法單位元分別為常數函數

雖然對任意實函數f可定義,但由於此函數的定義域不包含所有使得f(x)=0x值,它不一定等於f的定義域,所以上述代數結構不構成一個

參見[编辑]