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實數的構造

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數學裡,實數系統可以透過不同方式被定義。其中,基本方法通過一些公理將實數系統定為一個完備的有序數域。通過集合論公理,可以證明基本方法中給定的公理是絕對的,即是說如果有兩個模型都符合那些公理,那麼這兩個模型必然是同構的。這樣的模型須是從更基礎的對象構建而成的,而多數的模型的建立都是借助於有理數域

基本方法[编辑]

一個實數系統由一個集合當中的兩個不同元素 0 和 1 ,上的兩種二元運算 (分別叫做加法乘法),以及上的一個二元關係(即序關係)構成。 而且這個模型符合以下性質:

  1. 是一個。即
    • (加法與乘法的結合性
    • (加法與乘法的交換性
    • (乘法對加法有分配律)
    • (存在加法單位元
    • (存在乘法單位元)
    • (存在加法逆元
    • (存在乘法逆元)
  2. 是一個全序集。即
    • (自反性)
    • ,則有反對稱性
    • 且,,則有傳遞性
    • (完全關係性)
  3. 上的兩個運算 均與序關係相容。即
    • ,若(加法下保持次序)
    • ,若 ,則(乘法下保持次序)
  4. 序關係符合戴德金完備性: 若的一個非空子集上界,那么也有上確界。換言之,
    • 的一個非空子集,而且有上界,那麼有一上確界,使得對的任何上界,均有

有理數域 符合前三條公理,也就是說是一個有序域(同時還滿足阿基米德性,所以是一個阿基米德有序域),但 不符合最后一條公理。所以戴德金完備性這一點在實數的定義中是不可或缺的。戴德金完備性蘊含阿基米德性質。若有兩個模型符合公理1-4的話,它們必然是同構的,所以在同構意義下只有一個戴德金完備的阿基米德有序域。

附注:當我們說符合以上公理的兩個模型: 是同構時,即是指存在一個保持運算和序的雙射。 確切地說存在滿足

  • 是一個雙射
  • .
  • 當且僅當

模型的具體構造[编辑]

柯西序列[编辑]

首先我們需要一個定義。設是一個有理數列,如果对于任何正有理數,存在一个正整数使得对于所有的整数,都有,則稱有理數的柯西序列

有理數集配備上度量(即一般的绝对值)後便是一個度量空間。而透過一個叫作完備化的過程,可以往度量空間加進新點,從而使得度量空間中的所有柯西序列都收斂到某點。

以下說明實數集可定義為對於度量的完備化。(關於在其他度量下的完備化,參見p進數。)

為由有理數的柯西序列組成的集合。定義兩個柯西序列的加法和乘法為:

運算得到的序列依然會是柯西序列[1]


稱兩個柯西序列是等價的,如果它們之間的差收斂到0。這樣便在上定義了一個等價關係。以表示包含序列的等價類。

為包含所有等價類的集合,然後也在上定義加法和乘法:

同樣地,這兩個運算是良好定義的。


可以證明是一個域。我們可以把嵌入——只要把有理數對應於便可。

實數大小的比較也是透過在柯西序列上的定義而達成的: 稱一個實數是正的,即,當且僅當存在自然數和正有理數,使得對一切。稱當且僅當

較難推導的是的完備性,具體可以參考[2]

常用的小數記法可以自然地理解為柯西序列,比如說, 的記法意味著 是柯西序列 的等價類。等式則斷定了序列是等價的,即它們之間的差收斂到

作為的完備化有一個好處,那就是這種方法並不限於此例;對於其他度量空間也是適用的。

戴德金分割[编辑]

實數可定義為有理數集上的戴德金分割,即是有理數集的一個劃分,其中都非空,而且A的每個元素都小於B的任意元素。為方便起見,不妨把劃分以其下組 來代表,因為給定了 就唯一確定了 。所以直觀上,實數能被所代表。

具體而言,一個實數 的符合以下條件的一個子集:[3]

  1. 是非空集合
  2. 是向下封閉的,即:
  3. 沒有最大元。也就是說,不存在,使得對任何
  • 為所有實數的集合,也就是說它包含了所有上的戴德金分割。然后在上定義這樣一個全序:
  • 有理數可以嵌入到裡,透過把 對應於集合[3] 因為有理數在有理數集內是稠密的,所以這個集合沒有最大元,並滿足上述的各條件。
  • 加法:[3]
  • 減法: ,其中 代表裡的補集,即
  • 負號是減法的特例:
  • 乘法的定義較不直觀:[3]
    • ,那麼
    • 中有一個是負的,可以透過這定義式,把, 轉化為正數的情況,再採用上面的定義來計算。
  • 類似地定義除法為:
    • ,則
    • 中有一個是負的,可以藉助 的定義式,把 換成非負數,以及把換成正數,再採用上面的定義來計算。
  • 上確界:如果的非空子集 有上界的話,那麼可以證明便是其上確界。[3]

以下示範如何以戴德金分割代表根號2:設[4]

首先,對於任何自乘小於2的正有理數 ,都存在一個大於x的有理數 ,而且有 。選擇 便可。所以我們證明了 是一個實數。 要證明成立,只需指出如果是小於2的有理數,那麼存在正的 ,且

這種方法的好處是每個實數都對應於唯一的分割。

小數記法[编辑]

西蒙·斯蒂文[5] 首先提出了以小數來代表一切數(即現今的實數)的想法。具體地,可以將無限小數展開式作為實數的定義,然後規定像0.9999... 和1.0000... 這樣的兩種展開式是等價的,再形式化地定義好四則運算和大小次序。這種方法跟柯西序列和戴德金分割這兩種構造是等價的,而且它還給出了明確的收斂模英语Modulus of convergence。這種方法不限於十進制,其他的進位制也是適用的。

用小數來構造的好處是,這跟我們對於實數的基本印象相符。一個證明“完全有序域的所有模型都同構”的標準做法便是,說明任意模型都同構於這個模型,因為我們可以系統地給每個元素建立小數展開式。

超實數[编辑]

首先,透過超濾子從有理數構造出超有理數域*Q 。此處的超有理數之定義為兩個超整數的比。考慮由*Q裡所有有界(或者說有限)元素所組成的環BB 有著唯一的極大理想 I,即無窮小量。商環 B/I 給出了實數域 。 注意B 並不是*Q的一個內在集合。 此外,這種構造在自然數集上使用了非主超濾子,而其存在性是依賴於選擇公理的。

這個極大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完備性的證明跟柯西序列一節中的論證類同。

超現實數[编辑]

每個有序域都可以嵌入到超現實數系統內。而實數組成了一個符合阿基米德性質的極大子域(意味著沒有實數是無窮大量)。這種嵌入方式並不是唯一的,儘管有標準的一種方式。

透過整數集(歐多克索斯實數)[编辑]

一個較不為人知的構造方法只需用到整數的加法群。[6][7][8] 這種方法已由IsarMathLib project正式驗證了。[9] Shenitzer[10]和Arthan將此構造稱為歐多克索斯實數。

為一函數,若然是有限集,則稱f殆同態。稱兩個殆同態幾乎相等的,如果集合是有限集。如此便在殆同態上定義了一等價關係。實數被定義為各個等價類,可簡單記為[f]。實數的加法,對應於殆同態的加法運算;實數的乘法,則對應於殆同態的複合運算。最後,稱,若 是有界的,或者上無限多次取正值。這樣便在實數上建立了全序。

參見[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ The Real Numbers (PDF). 
  2. ^ The Real Numbers (PDF). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 Pugh, Charles Chapman. Real Mathematical Analysis. New York: Springer. 2002: 11–15. ISBN 0-387-95297-7. 
  4. ^ Hersh, Reuben. What is Mathematics, Really?. New York: Oxford University Press US. 1997: 274. ISBN 0-19-513087-1. 
  5. ^ Karin Usadi Katz and Mikhail G. Katz (2011) Stevin Numbers and Reality. Foundations of Science. doi:10.1007/s10699-011-9228-9 Online First. [1]
  6. ^ R.D. Arthan. The Eudoxus Real Numbers. arXiv:math/0405454. 
  7. ^ Norbert A'Campo. A natural construction for the real numbers. arXiv:math/0301015. 
  8. ^ Ross Street. Update on the efficient reals (PDF). September 2003 [2010-10-23]. 
  9. ^ IsarMathLib. 
  10. ^ Shenitzer, A. (1987) A topics course in mathematics. The Mathematical Intelligencer 9, no. 3, 44--52.