对数微分法

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对数微分法是在微积分学中,通过求某函数f对数导数英语Logarithmic derivative来求得函数导数的一种方法, [1]

这一方法常在函数对数求导比对函数本身求导更容易时使用,这样的函数通常是几项的积,取对数之后,可以把函数变成容易求导的几项的和。这一方法对幂函数形式的函数也很有用。对数微分法依赖于链式法则对数的性质(尤其是自然对数),把积变为求和,把商变为做差[2][3]。这一方法可以应用于所有恆不为0的可微函数

概述[编辑]

对于某函数

运用对数微分法,通常对函数两边取绝对值后取自然对数[4]

运用隐式微分法[5],可得

两边同乘以y,则方程左边只剩下dy/dx

对数微分法有用,是因为对数的性质可以大大简化复杂函数的微分[6],常用的对数性质有:[3]

通用公式[编辑]

有一如下形式的函数,

两边取自然对数,得

两边对x求导,得

两边同乘以,可得原函数的导数为

应用[编辑]

积函数[编辑]

对如下形式的两个函数的积函数

两边取自然对数,可得如下形式的和函数

应用链式法则,两边微分,得

整理,可得[7]

商函数[编辑]

对如下形式的两个函数的商函数

两边取自然对数,可得如下形式的差函数

应用链式法则,两边求导,得

整理,可得

右边通分之后,结果和对运用除法定则所得结果相同。

复合指数函数[编辑]

对于如下形式的函数

两边取自然对数,可得如下形式的积函数

应用链式法则,两边求导,得

整理,得

与将函数f看做指数函数,直接运用链式法则所得结果相同。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Krantz, Steven G. Calculus demystified. McGraw-Hill Professional. 2003: 170. ISBN 0-07-139308-0. 
  2. ^ N.P. Bali. Golden Differential Calculus. Firewall Media. 2005: 282. ISBN 81-7008-152-1. 
  3. ^ 3.0 3.1 Bird, John. Higher Engineering Mathematics. Newnes. 2006: 324. ISBN 0-7506-8152-7. 
  4. ^ Dowling, Edward T. Schaum's Outline of Theory and Problems of Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences. McGraw-Hill Professional. 1990: 160. ISBN 0-07-017673-6. 
  5. ^ Hirst, Keith. Calculus of One Variable. Birkhäuser. 2006: 97. ISBN 1-85233-940-3. 
  6. ^ Blank, Brian E. Calculus, single variable. Springer. 2006: 457. ISBN 1-931914-59-1. 
  7. ^ Williamson, Benjamin. An Elementary Treatise on the Differential Calculus. BiblioBazaar, LLC. 2008: 25–26. ISBN 0-559-47577-2. 

外部链接[编辑]