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对数积分

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对数积分li(x)是一个特殊函数。它出现在物理学的问题中,在数论中也有重要性,主要出現在與質數定理黎曼猜想的相關理論之中。

对数积分

积分表示法[编辑]

对数积分有一个积分的表示法,对所有的正实数都有定义:

在这里,ln表示自然对数。函数1/ln (t)在t = 1处有一个奇点,当x > 1时,这个积分只能用柯西主值的概念来解释:

特殊值與欧拉对数积分[编辑]

由於這個積分在x趨近於0時,值會趨近於負無窮大,有些數學家為了避免麻煩,常會選擇另外一個相似的定義,欧拉对数积分定义为:

函数li(x)有一個正根,它出现在x ≈ 1.45136 92348 ...。这个数称为Ramanujan-Soldner常数

其中不完全伽玛函数

级数表示法[编辑]

函数li(x)与指数积分Ei(x)有以下的关系:

其中。这个等式提供了li(x)的一个级数表示法:

其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是欧拉-马歇罗尼常数。一个收敛得更快的级数,是:

渐近展开式[编辑]

x → ∞,函数有以下的渐进表现:

其中大O符号。完整的渐近展开式为:

注意,作为渐近展开式,这个级数是发散的:只有级数前面有限个项才是较好的估计。这个展开式可从指数积分的渐近展开式直接推出。

数论中的重要性[编辑]

对数积分在数论中十分重要,出现在小于某个整数的素数个数的估计中。例如,質數定理表明:

其中π(x)是小于或等于x的素数的个数。

参见[编辑]

参考文献[编辑]