對稱多項式

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數學中的對稱多項式是一种特殊的多元多项式。假设一个n多項式P(X1, X2, ..., Xn),當其中的n個不定元任意交換後,多項式仍維持不變,就称其为对称多项式。严格的说法是,如果对任意的n元置换σ,都有P(Xσ(1), Xσ(2), ..., Xσ(n)) = P(X1, X2, ..., Xn),就说P是对称多项式。

对称多项式最早是在出现在对一元多项式方程求根的研究中。一元多项式方程的系数可以用它的根的多项式来表达。而多项式的任何一个根的地位理当与余者都相同,所以这类多项式中,不定元进行置换不应当改变多项式。从这个角度来说,将多项式方程的根构成的系数多项式称为基本对称多项式是合理的。有定理说明,任意的对称多项式都可以表达为基本对称多项式的多项式。

例子[编辑]

以上的多項式都對稱。但是像的多項式就不對稱,因為把對換後,會得到,不等於原來的多項式。

基本對稱多項式[编辑]

個不定元,有初等對稱多項式,就是除首項外的各項係數。例如當,基本對稱多項式為

基本對稱多項式是對稱多項式的構成單元。所有元對稱多項式,都可以用這個基本對稱多項式以加法和乘法表示出來。更準確地說:

任何元對稱多項式,都可以用這個以原來不定元組成的基本對稱多項式,唯一地以多項式來表示。

例如當,有2個基本對稱多項式。第一個例子中的多項式可以寫成

待定系数法[编辑]

表达成基本对称多项式

[1]

与高次方程的性质[编辑]

与等幂和的性质[编辑]

以下用a表示对称多项式,s表示等幂和:

牛顿公式[编辑]

[2]

证明如下:

组合公式[编辑]

两项时使等幂和分解为积与和的组合,如

数学归纳法可证明高维的形式:

也可以把对称多项式表达成等幂和:

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ 郭龙先 张毅敏 何建琼. 高等代数. 
  2. ^ 沈南山. 牛顿(Newton)公式的一个注记及其应用. 数学通报. 2005, (3).