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導出函子

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同調代數中,阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」,以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。

動機[编辑]

考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之:給定兩個阿貝爾範疇 ,及其間的加法函子 。假設 為左正合函子,換言之,對 中的任一短正合序列

下列序列是正合的:

由此自然導出一個問題:如何自然地延長此正合序列? 的(右)導出函子是一族函子 ,滿足 ,且有相應的長正合序列:

導出函子可以視為 的右正合性的尺度。

構造與初步性質[编辑]

右導出函子[编辑]

今假設 中有充足的內射元。設 ,根據假設,存在內射分解

取函子 ,得到上鏈複形

定義 為其第 個上同調群,特別是有 。注意到兩點:

  • 由於任兩個內射分解彼此同倫等價,函子 在同構的意義下是明確定義的。
  • 是內射對象,取平凡分解 ,可知當 時有

左導出函子[编辑]

左導出函子的建構與右導出函子對偶。設 為右正合加法函子,並假設 有充足的射影元。對任一對象 ,取一射影分解

取函子 ,得到鏈複形:

定義 為其第 個同調群,其性質類似右導出函子。

逆變函子的情形[编辑]

對於逆變函子也能定義導出函子,此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。

長正合序列[编辑]

對於右導出函子的情形,任一短正合序列 給出長正合序列

對於左導出函子,相應的長正合序列形如

此外,這些長正合序列在下述意義下是「自然」的:

  • 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
  • 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。

這些性質是蛇引理的推論。

應用[编辑]

  • 層上同調:對拓撲空間 ,考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇,它有充足的內射元。整體截面函子 是左正合函子,相應的右導出函子即層上同調函子
  • 平展上同調:平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。
  • Ext函子:設 為環,考慮 -模範疇,它有充足的內射元及射影元。對任一 -模 ,函子 為左正合的,其右導出函子記為
  • Tor函子:同樣考慮 -模範疇,對任一 -模 ,函子 為右正合的,其左導出函子記為
  • 群上同調:設 。所謂 -模是指被 作用的阿貝爾群-模範疇可以理解為 -模範疇。對任一 -模 ,定義 ,這是一個左正合函子,其右導出函子即群上同調函子

推廣[编辑]

現代的導範疇理論為導出函子提供了一套較廣的框架。

文獻[编辑]

  • Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1