小斜方截半二十面体

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小斜方截半二十面體
小斜方截半二十面体
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 半正多面體
62
120
頂點 60
歐拉特徵數 F=62, E=120, V=60 (χ=2)
面的種類 正三角形
正方形
正五邊形
面的佈局英语Face configuration 20{3}+30{4}+12{5}
頂點圖 3.4.5.4
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDW ring.pngCDW 5.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW ring.png
施萊夫利符號 rr{5,3} 或
威佐夫符號英语Wythoff symbol 3 5 | 2
康威表示法 lrID
對稱群 Ih
參考索引 U27, C30, W14
對偶 鳶形六十面體
特性 -
立體圖 Small rhombicosidodecahedron vertfig.png
3.4.5.4
頂點圖
Deltoidalhexecontahedron.jpg
鳶形六十面體
(對偶多面體)
Rhombicosidodecahedron flat.png
(展開圖)

幾何學中,小斜方截半二十面體是一種半正多面體,由於其具有點可遞的性質,因此屬於阿基米德立體[1]。它由20個正三角形面、30個正方形面、12個正五邊形面、60個頂點和120條棱構成[2]。其對偶多面體鳶形六十面體[3]

命名[编辑]

约翰内斯·开普勒在他1618年出版的《世界的和諧》中,將這個多面體命名為小斜方截半二十面體(rhombicosidodecahedron),可以看做是截角截半二十面體菱形(truncated icosidodecahedral rhombus)的縮寫,由於小斜方截半二十面體可以看做是菱形三十面體透過截角變換後的像而得名,其中截半二十面體菱形(icosidodecahedral rhombus)是开普勒給予菱形三十面體的命名[4]菱形三十面體透過截角變換後的像在拓樸學上可以產生兩種不同的幾何形狀:左邊為最直接的截半;中間是在五階頂點截的較深的截半,其形成了均勻多面體;右邊的是小斜方截半二十面體與菱形三十面體對偶多面體——截半二十面体的複合體。

性質[编辑]

正十二面體透過擴展英语Expansion (geometry)變換形成小斜方截半二十面體的動畫。

小斜方截半二十面體是一種半正多面體,由三種正多邊形組成,分別為正三角形面、正方形面和正五邊形,每個頂點都是兩個正方形、一個正三角形和一個五邊形的公共頂點,在頂點圖中可計為3.4.5.4,因此具有點可遞的性質。由於其可以藉由正十二面體透過擴展英语Expansion (geometry)變換,變換而成,因此又可以稱為擴展英语Expansion (geometry)十二面體。由於此原因,小斜方截半二十面體在施萊夫利符號中可以用rr{5,3}來表示,其中,rr表示擴展英语Expansion (geometry)變換,{5,3}表示正十二面體,亦可以簡寫為[5]

幾何關聯[编辑]

将一个正十二面体正二十面体)三十条棱都切一刀,在二十(十二)个顶点处也切一刀,就可以得到一个小斜方截半二十面体。也可以透過將正二十面体移動到遠離原點適當的距離,並且不改變面的大小,然後對偶多面體(正十二面体)也做相同動作,並且在剩餘的空隙補上正方形也可以得到小斜方截半二十面体。一可以視為截半二十面體再次截半後的像[6]。因此,小斜方截半二十面体具有與正二十面體相同數量的三角形和與正十二面體相同數量的五邊形,且正方形恰好等於正二十面體或正十二面體邊的數量。

Small rhombicosidodecahedron.png
小斜方截半二十面體
Small dodecicosidodecahedron.png
小十二合截半二十面體英语Small dodecicosidodecahedron
Small rhombidodecahedron.png
小斜方十二面體英语Small rhombidodecahedron
Small stellated truncated dodecahedron.png
小星型截角十二面體英语Small stellated truncated dodecahedron
UC36-6 pentagrammic prisms.png
六複合五角星柱英语Compound of six pentagrammic prisms
UC37-12 pentagrammic prisms.png
十二複合五角星柱英语Compound of twelve pentagrammic prisms

小斜方截半二十面體與小星型截角十二面體英语Small stellated truncated dodecahedron六複合五角星柱英语Compound of six pentagrammic prisms以及十二複合五角星柱英语Compound of twelve pentagrammic prisms共用相同的頂點布局。

其他特性[编辑]

小斜方截半二十面體由上而下可以分成5層,如下圖所示,靠近頂面的那層可形成一個正十邊形,特別地,由於其對稱性,因此每十條棱皆可以成為一個正十邊形,整個小斜方截半二十面體共有十二個獨立的十邊形。

小斜方截半二十面體的上下分层着色
小斜方截半二十面體的上下分层着色

頂點坐標[编辑]

位於笛卡爾坐標系原點且邊長為2單位長的小斜方截半二十面體,其頂點坐標[7]

(±1, ±1, ±φ3),
φ2, ±φ, ±2φ),
(±(2+φ), 0, ±φ2),

其中,φ = 黄金分割率

因此,這個小斜方截半二十面體的外接球半徑是這些點與原點的共同距離,即

而這個值的一半更為常見,計做R,其值等於邊長為1的小斜方截半二十面體之外接球半徑,代入恆等式φn+2 = φn+1 + φn五次可以得到:

R = = ≈ 2.233

體積與表面積[编辑]

一個邊長為a的小斜方截半二十面體,其表面積A體積V為:

[8]

二面角[编辑]

小斜方截半二十面體有兩種二面角,一個為正五邊形和正方形的交角,另一個為正三角形與正方形的交角[8]

其中,正五邊形和正方形的交角為:
[8]
其中,正三角形與正方形的交角為:
[8]

正交投影[编辑]

小斜方截半二十面體有6個特殊的正交投影,分別為於中心投影、於頂點上投影、於稜上投影(兩種)和於面上投影(三種),其中「在正方形面上投影」以及「在正五邊形面上投影」其對稱性對應於A2 和 H2的考克斯特平面[9]

正交投影
投影位置 頂點 三角形-正方形
五邊形-正方形
正方形面 三角形面 五邊形面
立體圖 Polyhedron small rhombi 12-20 from blue max.png Polyhedron small rhombi 12-20 from yellow max.png Polyhedron small rhombi 12-20 from red max.png
骨架 Dodecahedron t02 v.png Dodecahedron t02 e34.png Dodecahedron t02 e45.png Dodecahedron t02 f4.png Dodecahedron t02 A2.png Dodecahedron t02 H3.png
投影
對稱性
[2] [2] [2] [2] [6] [10]
對偶骨架 Dual dodecahedron t02 v.png Dual dodecahedron t02 e34.png Dual dodecahedron t02 e45.png Dual dodecahedron t02 f4.png Dual dodecahedron t02 A2.png Dual dodecahedron t02 H3.png

球面鑲嵌[编辑]

小斜方截半二十面體也可以表示為球面鑲嵌,並通過球極投影,投影到平面上。 這個投影是一個等角頭影,雖然長度發生改變,但保留了角度資訊。 球面鑲嵌上的直線投影到了平面後成為了弧線。

Uniform tiling 532-t02.png Rhombicosidodecahedron stereographic projection pentagon'.png
正五邊形為中心
Rhombicosidodecahedron stereographic projection triangle.png
正三角形為中心
Rhombicosidodecahedron stereographic projection square.png
正方形為中心
正交投影 球極平面投影

相關多面體與鑲嵌[编辑]

小斜方截半二十面體可以經由正十二面體正二十面體透過擴展英语Expansion (geometry)變換構成。
Zometool英语Zometool積木組英语construction set的其中一個頂點連接零件是使用黃金比例矩形版本的小斜方截半二十面體[10]

小斜方截半二十面體是正十二面體經過擴展英语Expansion (geometry)變換後的結果,其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有:

正二十面体家族半正多面体
對稱群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 5.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Icosahedron.svg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg Dodecahedron.svg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

變異對稱性[编辑]

這個多面體在拓撲上與一系列頂點圖為(3.4.n.4)的多面體和鑲嵌相關,皆具有(*n32)的鏡射對稱性。

擴展鑲嵌對稱性 *n32 的變種: 3.4.n.4
對稱性
*n32
[n,3]
球面鑲嵌英语List of spherical symmetry groups 歐氏鑲嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 緊湊雙曲 仿緊雙曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
圖形 Spherical triangular prism.png Uniform tiling 332-t02.png Uniform tiling 432-t02.png Uniform tiling 532-t02.png Uniform polyhedron-63-t02.png H2 tiling 237-5.png H2 tiling 238-5.png H2 tiling 23i-5.png
頂點英语Vertex configuration 3.4.2.4 3.4.3.4 3.4.4.4 3.4.5.4 3.4.6.4 3.4.7.4英语rhombitriheptagonal tiling 3.4.8.4英语rhombitrioctagonal tiling 3.4.∞.4英语rhombitriapeirogonal tiling

詹森多面體[编辑]

詹森多面體中,有13個與小斜方截半二十面體相關,其中包括5個小斜方截半二十面體的分割,以及8個與小斜方截半二十面體類似但部分結構被旋轉的結果:

小斜方截半二十面體的分割
J5
Pentagonal cupola.png
76英语Diminished rhombicosidodecahedron
Diminished rhombicosidodecahedron.png
80英语Parabidiminished rhombicosidodecahedron
Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png
81英语Metabidiminished rhombicosidodecahedron
Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png
83
Tridiminished rhombicosidodecahedron.png
部分結構被旋轉或者分割或者組合
72英语Gyrate rhombicosidodecahedron
Gyrate rhombicosidodecahedron.png
73英语Parabigyrate rhombicosidodecahedron
Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png
74英语Metabigyrate rhombicosidodecahedron
Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png
75英语Trigyrate rhombicosidodecahedron
Trigyrate rhombicosidodecahedron.png
77英语Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron
Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
78英语Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron
Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
79英语Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron
Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
82
Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  2. Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 
  3. The Big Bang Theory Series 8 Episode 2 - The Junior Professor Solution: features this solid as the answer to an impromptu science quiz the main four characters have in Leonard and Sheldon's apartment, and is also illustrated in Chuck Lorre's Vanity Card #461 at the end of that episode.
  1. ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
  2. ^ Rhombicosidodecahedron. bulatov.com. [2018-08-27]. (原始内容存档于2017-10-11). 
  3. ^ 埃里克·韦斯坦因. DeltoidalHexecontahedron and Hamiltonian path. MathWorld. 
  4. ^ Harmonies Of The World by Johannes Kepler, Translated into English with an introduction and notes by E. J. Aiton, A. M. Duncan, "J. V. Field, 1997, ISBN 0-87169-209-0 (page 123)
  5. ^ 埃里克·韦斯坦因. Small Rhombicosidodecahedron. MathWorld. 
  6. ^ The Rhombicosidodecahedron. The Geometry Center. [2018-08-27]. (原始内容存档于2016-12-04). 
  7. ^ 埃里克·韦斯坦因. Icosahedral group. MathWorld. 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 Archimedean Solids: Rhombicosidodecahedron. dmccooey.com. [2018-08-27]. (原始内容存档于2018-01-29). 
  9. ^ Coxeter Planes 页面存档备份,存于互联网档案馆 and More Coxeter Planes 页面存档备份,存于互联网档案馆 約翰·史坦布里奇英语John Stembridge
  10. ^ 埃里克·韦斯坦因. Zome. MathWorld. 

外部連結[编辑]