巴拿赫不动点定理

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巴拿赫不动点定理,又称为压缩映射定理压缩映射原理,是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性,并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的,他在1922年提出了这个定理。

定理[编辑]

设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : XXX上的一个压缩映射,也就是说,存在一个非负的实数q < 1,使得对于所有X内的xy,都有:

那么映射TX内有且只有一个不动点x*(这就是说,Tx* = x*)。更进一步,这个不动点可以用以下的方法来求出:从X内的任意一个元素x0开始,并定义一个迭代序列xn = Txn-1,对于n = 1,2,3,……。这个序列收敛,且极限x*。以下的不等式描述了收敛的速率:

等价地:

满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数

注意对于所有不同的xy都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求,一般来说是不足以保证不动点的存在的,例如映射T : [1,∞) → [1,∞),T(x) = x + 1/x,就没有不动点。但是,如果空间X的,则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。

当实际应用这个定理时,最艰难的部分通常是恰当地定义X,使得T实际上把元素从X映射到X,也就是说,Tx总是X的一个元素。

证明[编辑]

选择任何。对于每一个,定义。我们声称对于所有的,以下等式都成立:

我们用数学归纳法来证明。对于的情况,命题是成立的,这是因为:

假设命题对于某个是成立的。那么,我们有:

从第三行到第四行,我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理,对于所有的,以上的命题都成立。

。由于,我们便可以找出一个较大的,使得:

利用以上的命题,我们便有对于任何以及,都有:

第一行的不等式可以从三角不等式推出;第四行的级数是一个几何级数,其中,因此它收敛。以上表明内的一个柯西序列,所以根据完备性,它是收敛的。因此设。我们作出两个声明:第一,的一个不动点,也就是说,;第二,中的唯一的不动点。

为了证明第一个命题,我们注意到对于任何的,都有:

由于当时,,因此根据夹挤定理,可知。这表明当时,。但当时,,且极限是唯一的;因此,一定是的情况。

为了证明第二个命题,我们假设也满足。那么:

由于,因此上式意味着,这表明,于是根据正定性,定理得证。

逆定理[编辑]

巴拿赫不动点定理有许多逆定理,以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的:

为一个抽象集合的映射,使得每一个迭代f n都有一个唯一的不动点。设q为一个实数,0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量,使得f是压缩映射,且q是压缩常数。

推广[编辑]

一个有趣的事实是,若把某国的地图缩小后印在该国领土内部,那么在地图上有且仅有这样一个点,它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。证明如下:

  • 为了方便起见,这里把地球近似看作是正球体。
  • 首先,按照经纬度可以给地球表面上每一个点标出坐标 (x, y),其中前元是经度、后元是纬度。又定义地面上任意两点间的距离 d(A, B) 是 A 到 B 间大圆弧的弧长
  • 其次,把这国家的地图上的点按照其所代表点的实际经纬度标出坐标 (u, v)。
  • 那么对于地图上任意一点 P 而言,它既在地图上表示地点 (up, vp),又实际在地面上占有点 (xp, yp)。显然,这构成了从集合 S={P|P 是地面上的点且 P 属于该国领土} 到其本身的映射,现记作 M(P)=M((up, vp))=(xp, yp)。
  • 又因为地图是缩小的,即对于任意两个地点 A∈S、B∈S 而言,d(A, B)>d(M(A), M(B)),也即 M(P) 是一个压缩映射
  • 事实上,取实数 k>1 作为地图比例尺的分母、即 1:k,那么由比例尺的定义知 d(A, B)=kd(M(A), M(B)),两边同除以 k 得 d(A, B)*(1/k)=d(M(A), M(B))。换言之,存在实数 q=1/k<1 满足对于 S 内所有的 A 和 B,d(M(A), M(B))≤qd(A, B),这里等号总是成立。
  • 现在将 S 视为以 d 为度量的空间,那么它显然是一个完备度量空间。
  • 根据巴拿赫不动点定理,M 在 S 内有且仅有一个不动点,即该点恰好被印在它所表示的土地位置上。Q.E.D.

关于巴拿赫不动点定理的推广,请参见无穷维空间中的不动点定理

参考文献[编辑]