巴都萬數列

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巴都萬數列(Padovan Sequence)是一個整數數列,由起始數值遞歸關係定義。

首數個值為1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37 ...(OEIS:A000931

此數列以建築師理察·巴都萬命名,他的論文Dom(1994年)提及Hans Van Der Laan應用銀數在建築方面。1996年6月,艾恩·史都華在《科學美國人》雜誌提到這個數列。

以巴都萬數為邊長的等邊三角形組成的螺旋

遞歸關係[编辑]

  • (此關係可從圖中見得)

佩蘭數列滿足相同的遞歸關係。它亦可從巴都萬數列定義:

反巴都比數列[编辑]

使用遞歸關係可將巴都比數列推廣到負數項。這樣的定義跟將斐波那契數推廣到反斐波那契數列相似。另一方面,反斐波那契數列取絕對值便和斐波那契數列相等,但反巴都比數列卻不:

... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...

項的和[编辑]

項(包括第0項)之和比少2:

下面是每隔數項的和:

下面的恆等式跟項與項的乘積之和有關:

其他恆等式[编辑]

巴都萬數列跟二項式係數之和有關:

估計值[编辑]

有三個根:唯一的實數(即銀數)和兩個複數

因為的絕對值都少於1,當趨近無限,其會趨近0。因此,對於很大的,可以以下面的公式估計:

從上面的公式亦知的值趨近銀數。

整數分拆上的定義[编辑]

可以用不同的整數分拆來定義。

  • 是將寫成一個有序、每項是2或3的和式的方法的數目。例如,有4種方法將8寫成這類和式:
2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2
  • 是將寫成一個有序且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如,有7種方法將5寫成這類和式:
1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5

1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8

  • 是將寫成一個有序且「回文型」且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如,有9種方法將9寫成這類和式:
9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1
  • 是將寫成一個有序的、每項除以3都餘2的和式的方法的數目。例如,有5種方法將11寫成這類和式:
11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2

生成函數[编辑]

巴都萬數列的生成函數

它可以用於證明巴都萬數跟幾何級數的項的積的等式,例如:

多項式[编辑]

巴都萬數列可以一般化成一個多項式的集。

首七個巴都萬多項式為:

個巴都萬數即

其他特質[编辑]

  • 奇偶性:按「奇奇奇偶偶奇偶」的組合重覆出現。
  • 數列中的質數OEIS:A000931
  • 數列中的平方數

外部連結[编辑]