布朗桥

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2个相互独立的标准布朗桥

标准布朗桥(英語:Brownian bridge)是概率论中常见的一个研究对象。 它是一种连续时间上的随机过程, 在0和1处取值为0.

注意不要和布朗运动混淆。

布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动(此处仅为意译)。

非标准的 布朗桥 只是在条件 下一般化的布朗桥。

定义[编辑]

标准的布朗桥 为一个连续时间上的 随机过程 ,它的分布为在条件下的维纳过程 (Wiener Process)。

它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 在条件 下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画:

定义的备注

事件 的概率为0。 考虑满足

的事件 , 我们可以考察条件分布 。 由依分布收敛 可得:

这给出了布朗桥的一个严格定义。


和其他随机过程的关系[编辑]

和布朗运动的关系[编辑]

性质1

为一个 维纳过程 (或者 布朗运动), 那么过程  :

为一个标准的布朗桥。

相互定义

为一个标准的布朗桥, Z 是一个正态随机变量,则过程 et  :

    et    

上的维纳过程。

性质 2

为一个 维纳过程, 则过程

为一个标准布朗桥。

相互定义

为一个标准的布朗桥, 那么过程

为一个维纳过程。


扩散形式下的表达[编辑]

也可以认为布朗桥是一种扩散过程。 事实上, 如果 是一种标准的布朗桥,随机方程

初始条件的解和布朗桥同分布。

事实上, 是一个 马氏过程,这个从布朗桥的定义中不容易看出。

性质[编辑]

为标准的布朗桥。

性质3

b 为一个实数,

性质4

b 为一个正实数

性质 5

a et b 为2个正实数.

性质6

x 为一个正实数


相关條目[编辑]

参考文献[编辑]

  • Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-00451-3. 
  • Revuz, Daniel; Yor, Marc. Continuous Martingales and Brownian Motion 2nd. New York: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-57622-3. 

备注[编辑]

该词条纯翻译自法语版维基词条。