布豐投針問題

18世紀，布豐提出以下問題：設我們有一個以平行且等距木紋舖成的地板（如右圖），現在隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針，求針和其中一條木紋相交的概率。這就是布豐投針問題（又译“蒲丰投針問題”）。

使用積分幾何能找到此題的解，並得出一個求π的蒙特·卡羅方法。

解法

設針的長度是$\ell$$\ell$，平行線之間的距離為$t$$t$，$x$$x$為針的中心和最近的平行線的距離，$\theta$$\theta$為針和線之間的銳角。

$x\in [0,t/2]$$x\in [0,t/2]$且均匀分布，其機率密度函數為${\frac {2}{t}}$${\frac {2}{t}}$。

$\theta \in [0,\pi /2]$$\theta \in [0,\pi /2]$且均匀分布，其機率密度函數為${\frac {2}{\pi }}$${\frac {2}{\pi }}$。

$x,\theta$$x,\theta$兩個隨機變數互相獨立，因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的積：

${\frac {4}{t\pi }}\ (x\in [0,t/2],\theta \in [0,\pi /2])$${\frac {4}{t\pi }}\ (x\in [0,t/2],\theta \in [0,\pi /2])$

當$x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta$$x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta$，針和線相交，然後對$x,\theta$$x,\theta$積分得出所求機率。

要求上式的積分需要分為兩種情況：“短針”$({\ell }\leq t)$$({\ell }\leq t)$以及“長針”$({\ell }>t)$$({\ell }>t)$；以下考慮“短針”情況，計算上式積分得針與線相交的機率：

$P=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{(\ell /2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2\ell }{t\pi }}$$P=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{(\ell /2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2\ell }{t\pi }}$

作簡單變換可得$\pi ={\frac {2\ell }{tP}}$$\pi ={\frac {2\ell }{tP}}$,

當拋$n$$n$支針，其中有$h$$h$支針與線相交，利用多次重複試驗所觀察事件發生的頻率越來越接近機率的理論值$P\approx {\frac {h}{n}}$$P\approx {\frac {h}{n}}$。

近似可得$\pi \approx {\frac {2\ell n}{th}}$$\pi \approx {\frac {2\ell n}{th}}$

Lazzarini的估計

1901年意大利數學家Mario Lazzarini嘗試進行此實驗。他拋了3408次針，得到π的近似值為355/113。

Lazzarini選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況，針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交，π約等於$5/3\times n/x$$5/3\times n/x$。分母、分子少於五位數字，沒有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式$355/113=5/3\times n/x$$355/113=5/3\times n/x$，得$x=113n/213$$x=113n/213$。

為求x的值接近這個數，可以重覆拋213次針，若有113次是成功的，便可終止實驗，宣布這個方法求π值準確度不低；否則，就再拋213次針，希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。Lazzarini做了$3408=213\times 16$$3408=213\times 16$次。