18世紀,布豐提出以下問題:設我們有一個以平行且等距木紋舖成的地板(如右圖),現在隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針,求針和其中一條木紋相交的概率。這就是布豐投針問題(又译“蒲丰投針問題”)。
使用積分幾何能找到此題的解,並得出一個求π的蒙特·卡羅方法。
設針的長度是
,平行線之間的距離為
,
為針的中心和最近的平行線的距離,
為針和線之間的銳角。
且均匀分布,其機率密度函數為
。
且均匀分布,其機率密度函數為
。
兩個隨機變數互相獨立,因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的積:
![{\displaystyle {\frac {4}{t\pi }}\ (x\in [0,t/2],\theta \in [0,\pi /2])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886c08ac403feb9b77b8b21082d3c84ef89c1305)
當
,針和線相交,然後對
積分得出所求機率。
要求上式的積分需要分為兩種情況:“短針”
以及“長針”
;以下考慮“短針”情況,計算上式積分得針與線相交的機率:

作簡單變換可得
,
當拋
支針,其中有
支針與線相交,利用多次重複試驗所觀察事件發生的頻率越來越接近機率的理論值
。
近似可得
Lazzarini的估計[编辑]
1901年意大利數學家Mario Lazzarini嘗試進行此實驗。他拋了3408次針,得到π的近似值為355/113。
Lazzarini選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況,針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交,π約等於
。分母、分子少於五位數字,沒有比355/113更好的π的近似值了。因此,可以列式
,得
。
為求x的值接近這個數,可以重覆拋213次針,若有113次是成功的,便可終止實驗,宣布這個方法求π值準確度不低;否則,就再拋213次針,希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。Lazzarini做了
次。