希爾伯特第十六問題

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希爾伯特第十六問題,是希爾伯特的23個問題之一。它分成兩個部份:

  • 實代數曲線與曲面的拓撲結構

Harnack在1876年證明了一個平面上次實代數曲線最多有個分支。希爾伯特提議研究這些分支之間的拓撲性質,並將Harnack的估計推廣到空間裡的實代數曲面。

  • 極限環的拓撲結構

給定二元次實多項式,考慮下述平面上的動力系統

希爾伯特提議研究其極限環的最大數目及其拓撲。

总而言之,此問題意在研究由實多項式定義出的拓撲結構。在第一部份,我們考慮實多項式的零點;在第二部份,我們考慮實多項式定義的向量場及其積分曲線

進展[编辑]

希尔伯特第十六问题在1950年代末由苏联科学院院士彼得洛夫斯基(I.G.Petrovsky)与兰迪斯(E.M.Landies)解决。但随后他们的证明被证明存在漏洞。1980年,中国科学技术大学研究生史松龄,南京大学陈兰荪、王明淑分别独立举出反例,彻底推翻了二人的证明[1] [2]。因此第十六问题至今仍未解决。

文獻[编辑]

  • Yu. Il'yashenko, Finiteness theorems for limit cycles , Amer. Math. Soc.(1991)
  • Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko(ed.), Concerning the Hilbert 16th problem(1995), Amer. Math. Soc.
  • Shi Songling, A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems, Sci. Sinica, 23 (1980), 153-158.
  • Lan Sun Chen, Ming Shu Wang, The relative position, and the number, of limit cycles of a quadratic differential system, Acta Math. Sinica, 22 (1979), 751–758.

外部連結[编辑]

  1. ^ 希尔伯特第十六问题的百年历史 by Yulii Ilyashenko
  2. ^ 数学大师们的偶然失误 by 中研院数学研究所