帕塞瓦尔定理

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数学中,帕塞瓦尔定理经常指“傅里叶转换幺正算符”这一结论;简而言之,就是说函数平方的和(或积分)等于其傅里叶转换式平方之和(或者积分)。这个定理产生于Marc-Antoine Parseval在1799年所得到的一个有关级数的定理,该定理随后被应用于傅里叶级数。它也被称为瑞利能量定理瑞利恒等式,以物理学家约翰·斯特拉特,第三代瑞利男爵命名。

虽说帕塞瓦尔定理这一术语常用来描述任何傅里叶转换的幺正性,尤其是在物理学工程学上,但这种属性最一般的形式还是称为Plancherel theorem而不是帕塞瓦尔定理才更合适。

帕塞瓦尔定理的陈述[编辑]

假定A(x)和B(x)都是平方可积的(参照勒贝格测度)复变函数,且定义在R上周期为2π的区间上,分别写成傅里叶级数的形式:

A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx}


B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}.

然后

\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} \, dx,

这里的i虚数单位而上划线(horizontal bars)表示复共轭运算。

More generally, given an abelian topological group G with Pontryagin dual G^, Parseval's theorem says the Pontryagin–Fourier transform is a unitary operator between Hilbert spaces L2(G) and L2(G^) (with integration being against the appropriately scaled Haar measures on the two groups.) When G is the unit circle T, G^ is the integers and this is the case discussed above. When G is the real line R, G^ is also R and the unitary transform is the Fourier transform on the real line. When G is the cyclic group Zn, again it is self-dual and the Pontryagin–Fourier transform is what is called discrete-time Fourier transform in applied contexts.

物理学和工程学上使用的记号[编辑]

物理学工程学 中, 帕塞瓦尔定理通常描述如下:

\int_{-\infty}^\infty | x(t) |^2 \, dt   =   \int_{-\infty}^\infty | X(f) |^2 \, df

其中X(f) = \mathcal{F} \{ x(t) \}x(t) 的连续傅立叶变换(以归一化酉形式),而f代表x的频率分量(非角频率

帕塞瓦尔定理的此表达形式解释了波形x(t)依时间域t累积的总能量与该波形的傅立叶变换X(f)在频域域f累积的总能量相等。

对于离散时间信号,该理论表达式变换为:

 \sum_{n=-\infty}^\infty | x[n] |^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi | X(e^{i\phi}) |^2 d\phi

其中,Xx离散时间傅立叶变换(DTFT),而Φ为x角频率每样本)。

此外,对于离散傅立叶变换 (DFT),表达式变换为:

 \sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2  =   \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2

其中,X[k]为x[n]的DFT变换,变换前后样本长度皆为N

参见[编辑]

参考链接[编辑]