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帕德近似

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亨利·帕德

帕德近似(Padé approximant)是法国数学家亨利·帕德发明的有理多项式近似法。帕德近似往往比截断的泰勒級數准确,而且当泰勒级数不收敛时,帕德近似往往仍可行,所以多用于在计算机数学中。

例如的泰勒级数

只有在时收敛,不如原函数广泛。

定义[编辑]

给定两个正整数m、n, 函数 的[m,n]阶帕德近似为

并且

对于给定的函数的[m,n]阶帕德近似是唯一的。

函数的帕德近似记为

例子[编辑]

正弦函數[编辑]

的6+6=12阶泰勒级数展开为

的12阶泰勒级数全同:

指数函数[编辑]

其泰勒级数为

与exp(x)本身的泰勒级数展开的前10阶完全等同:

又如


雅可比橢圓函數 [编辑]

第一類 5 階貝塞爾函數 [编辑]

误差函数[编辑]

菲涅耳積分 [编辑]

Maple计算[编辑]

Maple中

pade(f(x),x,[m,n]);

其中 m,n 分别表示 分子、分母的级数;

参考文献[编辑]

  • Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
  • Baker, G. A., Jr. Padé approximant, Scholarpedia, 7(6):9756.
  • Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods.= Theory and Practice. North-Holland, 1991
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP, Section 5.12 Padé Approximants, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd, New York: Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88068-8 
  • Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
  • Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1–62.
  • Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, [Ann. \'Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1–93 supplement.
  • Wynn, P., Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table, Numerische Mathematik, 1966, 8 (3): 264–269, doi:10.1007/BF02162562