帕普斯定理

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帕普斯定理

设U,V,W,X,Y和Z为平面上六条直线。如果:

(1)U与V的交点,X与W的交点,Y与Z的交点共线,且

(2)U与Z的交点,X与V的交点,Y与W的交点共线,

则(3)U与W的交点,X与Z的交点,Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯定理

也就是说,
如果

 \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle = 0

 \langle U \times Z, X \times V, Y \times W \rangle = 0

 \langle U \times W, X \times Z, Y \times V \rangle = 0.

证明[编辑]

 \alpha = \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle
 \beta = \langle U \times Z, X \times V, Y \times W \rangle
 \gamma = \langle U \times W, X \times Z, Y \times V \rangle

我们需要证明如果\alpha = 0且\beta = 0,则\gamma = 0。

第一步[编辑]

利用恒等式

 \langle A,B,C\rangle = \langle C,A,B\rangle = \langle B,C,A\rangle

可将\alpha\beta\gamma表述为以下形式:

 \alpha = \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle
 \beta = \langle Y \times W, U \times Z, X \times V \rangle
 \gamma = \langle X \times Z, Y \times V, U \times W \rangle

第二步[编辑]

利用恒等式

\langle A,B,C\rangle = A \cdot (B \times C)
A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C

可得

 \alpha = (U \times V) \cdot ((X \times W) \times (Y \times Z))
 \beta = (Y \times W) \cdot ((U \times Z) \times (X \times V))
 \gamma = (X \times Z) \cdot ((Y \times V) \times (U \times W))

以及

 \alpha = (U \times V) \cdot (\langle X,W,Z\rangle Y - \langle X,W,Y\rangle Z)
 \beta = (Y \times W) \cdot (\langle U,Z,V\rangle X - \langle U,Z,X\rangle V)
 \gamma = (X \times Z) \cdot (\langle Y,V,W\rangle U - \langle Y,V,U\rangle W)

第三步[编辑]

利用数量积的分配律,可得:

 \alpha = \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle - \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle
 \beta = \langle U,Z,V\rangle \langle Y,W,X\rangle - \langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle
 \gamma = \langle Y,V,W\rangle \langle X,Z,U\rangle - \langle Y,V,U\rangle \langle X,Z,W\rangle

第四步[编辑]

利用恒等式

 \langle A,B,C\rangle = \langle C,A,B\rangle = \langle B,C,A\rangle
 \langle A,B,C\rangle = -\langle A,C,B\rangle = -\langle C,B,A\rangle  = -\langle B,A,C\rangle

可得:

 \alpha = \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle - \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle
 \beta = -\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle + \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle
 \gamma = \langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle - \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle

第五步[编辑]

把这些等式相加,得:

 \alpha + \beta + \gamma = 0
 \gamma = -(\alpha + \beta)

因此,如果\alpha = 0且\beta = 0,则\gamma = 0。

证毕。

参见[编辑]