帕普斯定理

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帕普斯定理

设U,V,W,X,Y和Z为平面上六条直线。如果:

(1)U与V的交点,X与W的交点,Y与Z的交点共线,且

(2)U与Z的交点,X与V的交点,Y与W的交点共线,

则(3)U与W的交点,X与Z的交点,Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯定理

也就是说,
如果

证明[编辑]

我们需要证明如果 = 0且 = 0,则 = 0。

第一步[编辑]

利用恒等式

可将表述为以下形式:

第二步[编辑]

利用恒等式

可得

以及

第三步[编辑]

利用数量积的分配律,可得:

第四步[编辑]

利用恒等式

可得:

第五步[编辑]

把这些等式相加,得:

因此,如果 = 0且 = 0,则 = 0。

证毕。

参见[编辑]