帕普斯面積定理

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暗灰色面積等於淺灰色面積。

帕普斯面積定理(英語:Pappus's area theorem)描述為連接任意三角形三邊形成三個平行四邊形區域之間的關係。該定理也可以被認為是畢氏定理的推廣,以發現者希臘數學家帕普斯命名。

定理[编辑]

給定任意三角形,其兩個任意平行四邊形連接到其任意兩側,該定理描述在第三側產生平行四邊形,使得第三個平行四邊形的面積等於其他兩個平行四邊形的面積之和。

為任意三角形,ABDEACFG是連接到三角形邊AB與AC的兩個任意平行四邊形。延長的平行四邊形邊DE與FG在H點處相交。線段AH現在「變成」連接到三角形邊BC的第三平行四邊形BCLM的邊,即在BC上產生線段BL與CM,使得BL與CM互相平行並且其長度等於AH。以下表示為平行四邊形的面積:

該定理將畢氏定理歸納為雙重推論。首先它適用於任意三角形,而不僅適用於直角三角形,其次它使用平行四邊形而非正方形。對於任意三角形兩側的正方形,在第三側產生相等面積的平行四邊形,如果兩側為平行四邊形直角的直角邊,則第三側(斜邊)的平行四邊形也是正方形。對於直角三角形,連接到直角腿的兩個平行四邊形在第三側產生相等面積的矩形,並且如果兩個平行四邊形是正方形,那麼第三側上的矩形也將是正方形。

證明[编辑]

由於具有相同的基本長度與高度,平行四邊形ABDEABUH具有相同的面積,相同的參數適用於平行四邊形ACFGACVHABUHBLQRACVHRCMQ。 這已經產生了預期的結果,如下:

參考資料[编辑]

  • Howard Eves: Pappus's Extension of the Pythagorean Theorem.The Mathematics Teacher, Vol. 51, No. 7 (November 1958), pp.544–546

JSTOR

  • Howard Eves: Great Moments in Mathematics (before 1650). Mathematical Association of America, 1983, ISBN 9780883853108, p.37

excerpt,第37頁,於Google圖書

excerpt,第58頁,於Google圖書

  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, ISBN 9780883853481, pp.77–78

excerpt,第77頁,於Google圖書

外部連結[编辑]