常微分方程

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学分析中,常微分方程英语:ordinary differential equation,簡稱ODE)是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念,请参见微积分微分学积分学等条目。

很多科学问题都可以表示为常微分方程,例如根据牛顿第二运动定律物体的作用下的位移 时间 的关系就可以表示为如下常微分方程:

其中 是物体的质量 是物体所受的力,是位移的函数。所要求解的未知函数是位移 ,它只以时间 为自变量。

精确解总结[编辑]

一些微分方程有精确封闭形式的解,这里给出几个重要的类型。

在下表中,P(x), Q(x), P(y), Q(y), 和M(x,y), N(x,y) 是任何 x, y可积英语Integrable函数,b, c 是给定的实常数,C1, C2,... 是任意常数(一般为复数)。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。

在积分解中,λ 和 ε 是积分变量(求和下标的连续形式),记号 ∫xF(λ)dλ 只表示 F(λ) 对 λ 积分,在积分以后 λ = x 替换,无需加常数(明确说明)。

微分方程 解法 通解
可分离方程
一阶,变量 xy 均可分离(一般情况, 下面有特殊情况)[1]

分离变量(除以P2Q1)。
一阶,变量 x 可分离[2]

直接积分。
一阶自治,变量 y 可分离[2]

分离变量(除以 F)。
一阶,变量 xy 均可分离[2]

整个积分。
一般一阶微分方程
一阶,齐次[2]

y = ux,然后通过分离变量 ux 求解.
一阶,可分离变量[1]

分离变量(除以 xy)。

如果N = M, 解为xy = C.

恰当微分, 一阶[2]

其中

整个积分。

其中 Y(y) 和 X(x) 是积分出来的函数而不是常数,将它们列在这里以使最终函数 F(x, y) 满足初始条件。

反常微分, 一阶[2]

其中

积分变量 μ(x, y) 满足

如果可以得到 μ(x, y):

一般二阶微分方程
二阶, 自治[3]

原方程乘以 2dy/dx, 代换, 然后两次积分.
线性方程 (最高到n阶)
一阶线性,非齐次的函数系数[2]

积分因子: .
二阶线性,非齐次的常系数[4]

余函数 yc: 设 yc = eαx,代换并解出 α 中的多项式,求出线性无关函数

特解 yp:一般运用常数变易法英语method of variation of parameters,虽然对于非常容易的 r(x) 可以直观判断。[2]

如果 b2 > 4c, 则:

如果 b2 = 4c, 则:

如果 b2 < 4c, 则:

n 阶线性,非齐次常系数[4]

余函数 yc:设 yc = eαx,代换并解出 α 中的多项式,求出线性无关函数 .

特解 yp:一般运用常数变易法英语method of variation of parameters,虽然对于非常容易的 r(x) 可以直观判断。[2]

由于 αjn多项式的解: ,于是:

对于各不相同的 αj

每个根 αj 重复 kj 次,

对于一些复数值的 αj,令 α = χj + iγj,使用欧拉公式,前面结果中的一些项就可以写成

的形式,其中 ϕj 为任意常量(相移)。

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
  3. ^ Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5
  4. ^ 4.0 4.1 Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3