常微分方程

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数学分析中,常微分方程英语:ordinary differential equation,簡稱ODE)是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念,请参见微积分微分学积分学等条目。

很多科学问题都可以表示为常微分方程,例如根据牛顿第二运动定律物体的作用下的位移时间的关系就可以表示为如下常微分方程:

其中是物体的质量是物体所受的力,是位移的函数。所要求解的未知函数是位移,它只以时间为自变量。

精确解总结[编辑]

一些微分方程有精确封闭形式的解,这里给出几个重要的类型。

在下表中,P(x), Q(x), P(y), Q(y),和M(x,y), N(x,y)是任何x, y可积英语Integrable函数,b, c是给定的实常数,C1, C2,...是任意常数(一般为复数)。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。

在积分解中,λ和ε是积分变量(求和下标的连续形式),记号∫xF(λ)dλ只表示F(λ)对λ积分,在积分以后λ = x替换,无需加常数(明确说明)。

微分方程 解法 通解
可分离方程
一阶,变量xy均可分离(一般情况,下面有特殊情况)[1]

分离变量(除以P2Q1)。
一阶,变量x可分离[2]

直接积分。
一阶自治,变量y可分离[2]

分离变量(除以F)。
一阶,变量xy均可分离[2]

整个积分。
一般一阶微分方程
一阶,齐次[2]

y = ux,然后通过分离变量ux求解。
一阶,可分离变量[1]

分离变量(除以xy)。

如果N = M,解为xy = C.

恰当微分,一阶[2]

其中

整个积分。

其中Y(y)和X(x)是积分出来的函数而不是常数,将它们列在这里以使最终函数F(x, y)满足初始条件。

反常微分,一阶[2]

其中

积分变量μ(x, y)满足

如果可以得到μ(x, y):

一般二阶微分方程
二阶,自治[3]

原方程乘以2dy/dx,代换,然后两次积分。
线性方程 (最高到n阶)
一阶线性,非齐次的函数系数[2]

积分因子:.
二阶线性,非齐次的常系数[4]

余函数yc:设yc = eαx,代换并解出α中的多项式,求出线性无关函数

特解yp:一般运用常数变易法英语method of variation of parameters,虽然对于非常容易的r(x)可以直观判断。[2]

如果b2 > 4c,则:

如果b2 = 4c,则:

如果b2 < 4c,则:

n阶线性,非齐次常系数[4]

余函数yc:设yc = eαx,代换并解出α中的多项式,求出线性无关函数.

特解yp:一般运用常数变易法英语method of variation of parameters,虽然对于非常容易的r(x)可以直观判断。[2]

由于αjn多项式的解: ,于是:

对于各不相同的αj

每个根αj重复kj次,

对于一些复数值的αj,令α = χj + iγj,使用欧拉公式,前面结果中的一些项就可以写成

的形式,其中ϕj为任意常量(相移)。

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
  3. ^ Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5
  4. ^ 4.0 4.1 Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3